42、RSA加密的攻击方法与防范措施

RSA加密的攻击方法与防范措施

1. 低解密指数攻击

在1990年，有人提出当解密指数 $d$ 较小时，RSA加密系统存在被攻击的风险。具体来说，当满足 $q < p < 2q$ 且 $d < n^{\frac{3}{4}}$ 时，攻击者可以高效地计算出 $d$。
推导过程如下：
- 由 $ed \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}$ 可改写为 $ed - k\varphi(n) = 1$（$k$ 为整数），两边同时除以 $d\varphi(n)$ 得到 $\frac{e}{\varphi(n)} - \frac{k}{d} = \frac{1}{d\varphi(n)}$。
- 因为 $\varphi(n) \approx n$，且 $\varphi(n)$ 实际上比 $n$ 略小，经过一系列推导可得 $\left|\frac{e}{n} - \frac{k}{d}\right| < \frac{3k}{d\sqrt{n}}$。
- 又因为 $k < d$ 且 $d < n^{\frac{3}{4}}$，进一步推导得出 $\left|\frac{e}{n} - \frac{k}{d}\right| < \frac{1}{2d^2}$。
- 这意味着满足该不等式的分数 $\frac{k}{d}$ 少于 $\log_2(n)$ 个，可通过特定技术高效检查这些可能性，直至找到正确的 $d$。

防范措施 ：
- 不要使用较小的 $d$ 值，尽管小 $d$ 能加快解密速度，但安全性会大大降低。
- 若使用小 $d$ 值，可将 $e$ 增大到一定