18、RSA加密算法：原理、安全性与攻击防范

RSA加密算法：原理、安全性与攻击防范

1. 素性测试

在RSA加密系统中，Bob设置密钥时需要找到两个素数。最直接的找素数方法是选取一个数，然后尝试找出它的因数，但分解因数是一个难题。若Eve能分解出模数n，就能获取Bob的秘密信息p和q，进而找到解密指数d，读取所有使用该密钥发送给Bob的消息。

历史上，素性测试方法虽早有提出，但大多被认为不实用，原因包括速度慢、仅适用于特殊情况或有时给出错误答案。高斯曾将素性测试问题与分解因数问题区分开来，但他所描述的方法也存在一定局限性。

1.1 概率素性测试的诞生

1974年，Robert Solovay和Volker Strassen提出了概率素性测试的概念。这种测试在过程中进行随机选择，能快速运行，但有输出错误答案的可能性。

1.2 基于费马小定理的概率测试

费马小定理可作为“合数测试”，能确定一个数不是素数。例如，对于15，若它是素数，根据费马小定理，对于1到14之间的任意数k，k¹⁴ ≡ 1 (mod 15)。当k = 2时，2¹⁴ ≡ 4 (mod 15)，这表明15是合数，2就是15为合数的一个“见证数”。但并非所有尝试的数都能如此有效，如k = 4时，4¹⁴ ≡ 1 (mod 15)，此时4是费马测试的“说谎数”。

在测试一个数n时，我们会在1到n - 1之间选取多个不同的k值。只要有一个k是见证数，就知道n是合数；若都不是，则说n可能是素数。检查的k值越多，n是素数的可能性就越大，但除非检查大量的k值，否则无法确定n是素数，而且检查过多k值会使测试速度变慢。不过，对于密码学家来说，这种不确定性是可以接受的。

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