54、列生成中的进出分离与对偶价格平滑稳定

列生成中的进出分离与对偶价格平滑稳定

在优化领域，列生成是一种强大的求解整数规划问题的方法。然而，它在实际应用中存在一些问题，如对偶振荡、尾部效应和退化等。本文将深入探讨如何通过对偶价格平滑技术来解决这些问题，以及它与进出分离策略的联系。

1. 列生成基础

列生成方法主要用于解决整数规划问题，我们先来看一个整数规划问题的一般形式：
[
[F] \equiv \min{cx : x \in X}
]
其中，
[
X := Y \cap Z
]
[
Y := {x \in \mathbb{R}^n_+ : Ax \geq a}
]
[
Z := {x \in \mathbb{N}^n : Bx \geq b, l \leq x \leq u}
]

在这个分解中，假设子问题 $[SP] \equiv \min{cx : x \in Z}$ 相对容易求解，而 $Ax \geq a$ 是复杂约束。我们可以利用对 $Z$ 的优化能力来求解 $[F]$。

具体步骤如下：
- 设 $Q$ 是子问题解的枚举集合，即 $Q = {z_1, \ldots, z_{|Q|}}$，其中 $z_q \in Z$ 是子问题解向量。
- 可以将 $Z$ 和其凸包 $conv(Z)$ 重新表示为：
[
Z = {x \in \mathbb{R}^n_+ : x = \sum_{q \in Q} z_q\lambda_q, \sum_{q \in Q} \lambda_q = 1; \lambda_q \in {0, 1} \f