三点间LCA

三点间LCA

 

1.直接上题——jzoj5883. 【NOIP2018模拟A组9.25】到不了

Dscription

wy 和 wjk 是好朋友。
今天他们在一起聊天，突然聊到了以前一起唱过的《到不了》。
“说到到不了，我给你讲一个故事吧。”
“嗯？”
“从前，神和凡人相爱了，愤怒的神王把他们关进了一个迷宫里，迷宫是由许多棵有根树组 成的。神王每次把两个人扔进其中的某一棵有根树里面，两个相邻节点的距离为 1，两人的 每一步都只能从儿子走到父亲，不能从父亲走到儿子，他们约定，走到同一个节点相见，由 于在迷宫里面行走十分消耗体力，他们决定找出那个使得他们走的总路程最少的节点，他们 当然会算出那个节点了，可是神王有时候会把两棵有根树合并为一棵，这下就麻烦了。。。”
“唔。。。”
[已经了解树，森林的相关概念的同学请跳过下面一段]
树：由 n 个点，n-1 条边组成的无向连通图。
父亲/儿子：把树的边距离定义为 1,root 是树的根，对于一棵树里面相邻的两个点 u,v，到 root 的距离近的那个点是父亲，到 root 距离远的那个点是儿子
森林：由若干棵树组成的图
[简化版题目描述]
维护一个森林，支持连边操作和查询两点 LCA 操作

Input

第一行一个整数 N，M，代表森林里的节点总数和有根树的数目。
第二行 M 个整数，第 i 个整数 ri 代表第 i 棵有根树的根是编号为 ri 的节点
接下来 N-M 行，每行两个整数 u，v 表示 u 和 v 相邻
接下来一行一个整数 Q，表示 Q 个事件发生了
接下来 Q 行，每行若干个整数，表示一个事件
如果第一个数 op=1，接下来两个整数 u,v,代表神王把 u 号节点所在的树和 v 号节点所在的树 合并到一起(即 u 到 v 连了一条边)，新的根为原来 u 号节点所在的树的根(如果 u,v 已经联通， 忽略这个事件)。
如果第一个数 op=2，接下来两个整数 u，v，代表一次询问，当一个人在 u 号节点，一个人 在 v 号节点，询问他们找到的那个节点的编号

Output

对于每一个询问(op=2 的操作)，输出一行一个整数，代表节点编号，如果 u，v 不联通，输 出 orzorz。

Sample Input

【样例 1】
2 2
1 2
2
1 1 2
2 1 2
【样例 2】
2 2
1 2
2
1 2 1
2 1 2

Sample Output

【样例 1】
1
【样例 2】
2

Data Constraint

对于 30%的数据 1 ≤ N ≤ 1000 1 ≤ Q ≤ 1000
对于 100%的数据 1 ≤ N ≤ 100000 1 ≤ Q ≤ 100000

 

2.1Solution

显然可以LCT吧，这里不再撰述。

 

2.2Solution

通过归纳证明我们发现：

这一问题其实就是在求三点间。

显然三点间并不是依次后的结果。

 

• 结论：
• 证明：归纳证明易得（非要看证明请见这位学长的博客：详细的归纳证明）。

所以此题就很容易地用并查集解决了。