NEERC13 Problem H.Hack Protection

原创于 2020-12-24 08:29:52 发布 · 186 阅读

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这篇博客介绍了如何利用区间与的性质和异或前缀和解决一类问题。作者首先指出在确定左端点的情况下，区间与只有对数种可能的值。然后提出从大到小枚举左端点，并维护每一位何时变为0，通过异或前缀和来求解特定区间内满足条件的子区间数量。文章中提供了详细的算法实现和代码示例，展示了如何通过离散化和vector数据结构高效地处理这个问题。

NEERC13 Problem H.Hack Protection

Solution

注意到题目中的区间与，在左端点 $l$ 确定的情况下，对于所有 $r≥lr\geq l$ ， $AND_{l,r}$ 只有 $l o g$ 种取值，这是一个极为常见的性质。

于是我们从大到小枚举 $l$ ，可以维护每一位什么时候变成 $0$ ，即可求出每一段 $l_i,r_i,x_i)$ 表示 $ANDl,t∈[li,ri]=xiAND_{l,t\in [l_i,r_i]}=x_i$ ，用异或前缀和 $S_i$ 表示 $AND_{l,t}=S_t\ xor\ S_{l-1}$ ，就变成求 $xi,t∈[l,r]S_t=S_l-1\ xor \ x_i,t\in[l,r]$ 的个数，直接离散化之后用 $v e c t o r$ 维护即可。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=200005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
ll ans=0;
map<int,int> Map;
vector<int> V[MAXN];
int nxt[35],a[MAXN],s[MAXN];
set<PR> Set;
int solve(int l,int r,int x)
{
	if (l>r||!Map.count(x)) return 0;
	int t=Map[x];
	return lower_bound(V[t].begin(),V[t].end(),-l+1)-lower_bound(V[t].begin(),V[t].end(),-r);
}
signed main()
{
//	freopen("hack.in","r",stdin);
//	freopen("hack.out","w",stdout);
	int n=read(),num=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) 
	{
		a[i]=read(),s[i]=s[i-1]^a[i];
		if (!Map.count(s[i])) Map[s[i]]=++num;
	}
	for (int i=0;i<31;i++) nxt[i]=n+1,Set.insert(MP(n+1,i));
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		for (int j=0;j<31;j++) 
			if (!((a[i]>>j)&1)) Set.erase(MP(nxt[j],j)),nxt[j]=i,Set.insert(MP(nxt[j],j));
		V[Map[s[i]]].PB(-i);
		int lst=i,nw=(oo-1)<<1|1;
		for (set<PR>::iterator it=Set.begin();it!=Set.end();++it) ans+=solve(lst,(it->fi)-1,s[i-1]^nw),nw^=(1<<(it->se)),lst=(it->fi);
		ans+=solve(lst,n,s[i-1]^nw);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}