Manacher

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分类专栏：字符串-Manacher 文章标签：字符串-Manacher

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Manacher(马拉车算法)

Manacher算法主要用于求解回文串问题，能够统计出以每一个位置为中心的回文串的个数，效率极高。

模板

题目描述

Manacher算法的实现过程：
1.在字符串每两个字符之间插入一个分隔符。
2. $i$ 从 $1$ 到 $n$ 求解 $P [i]$ 表示以 $i$ 为中心的最长回文子串长度，同时记录一个当前延伸最远的回文子串，记它的右端点为 $r i g h t$ ，中心点为 $m i d$ ，则求 $P [i]$ 时，若 $r i g h t > i$ ，那么 $P [i] 的长度至少为 m i n (r i g h t - i, P [m i d - (i - m i d)])$ ，然后再暴力地向两边拓展即可。

时间复杂度为均摊 $O (n)$ 。

// luogu-judger-enable-o2
#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=20000005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
char st[MAXN],s[MAXN];
int P[MAXN];
int main()
{
    scanf("%s",st);
    int lenst=strlen(st);
    s[0]='%',s[1]='#';
    for (int i=0;i<lenst;i++) s[i*2+2]=st[i],s[i*2+3]='#';
	int lens=lenst*2+1;
	int mid=0,right=0;
	int smax=0;
	for (int i=1;i<=lens;i++)
	{
	    P[i]=(right>i?min(P[mid*2-i],right-i):1);
	    while (s[i-P[i]]==s[i+P[i]]) P[i]++;
	    if (right<i+P[i]) right=i+P[i],mid=i;
	    smax=max(smax,P[i]);
	}
	printf("%d\n",smax-1);
	return 0;
}

一道例题

CF30E. Tricky and Clever Password

Solution

其实这并不是一道Manacher题，只是需要一步Manachcer预处理。

我们发现最后一个串 $s u f f i x$ 一定是原串的一个后缀，因此我们考虑枚举 $s u f f i x$ 的长度，找到最前面的一个 $p r e f i x$ ，使得 $p r e f i x$ 是 $s u f f i x$ 的反串，这一部分可以用KMP实现。

在找到 $p r e f i x, s u f f i x$ 以后，我们还需要找一个最优的 $m i d d l e$ ，它是一个长度为奇数的回文串，并包含在 $[p r e f f i x + 1, s u f f i x - 1]$ 之间，但我们直接求这里面的最长回文子串是不行的，因为其中的最长回文子串可能会与 $p r e f f i x$ 或 $s u f f i x$ 重合，因此考虑二分答案，则问题变成了判断 $[p r e f f i x + 1 + m i d, s u f f i x - 1 - m i d]$ 之间是否有最长回文子串长度大于 $m i d$ 。

这就变成了一个区间最长回文子串最大值，Manacher求出 $P [i]$ 之后， $S T$ 表预处理就能够 $O (1)$ 询问了。

总时间复杂度为 $O (n l g n)$ 。

个人实现比较丑陋。。。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>
 
#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second
 
using namespace std;
 
template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }
 
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;
 
const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
struct Ansnode{ int l,mid,len,c; } Ans; 
char s[MAXN],t[MAXN],St[MAXN];
PR mx[MAXN][20];
int Log[MAXN],nxt[MAXN],P[MAXN];
void InitKMP(char *st,int len)
{
	for (int i=2,j=0;i<=len;i++)
	{
		while (j&&st[i]!=st[j+1]) j=nxt[j];
		if (st[i]==st[j+1]) j++;
		nxt[i]=j;
//		cout<<"Nxt:"<<i<<" "<<nxt[i]<<endl;
	}
}
void Manacher(char *st,int len)
{
	St[0]='%',St[1]='#';
	for (int i=1;i<=len;i++) St[i<<1]=st[i],St[i<<1|1]='#';
//	cout<<St<<endl;
	
	int Len=len<<1|1,mid=0,right=0;
	for (int i=1;i<=Len;i++)
	{
		P[i]=(right>i?min(P[mid*2-i],right-i):1);
		while (St[i-P[i]]==St[i+P[i]]) P[i]++;
//		cout<<i<<" "<<P[i]<<endl;
		if (right<i+P[i]) right=i+P[i],mid=i;
	}
	for (int i=1;i<=len;i++) 
	{
		if (P[i*2]-1>=Ans.c) Ans=(Ansnode){0,i,0,P[i*2]-1};
		P[i]=P[i*2]>>1;
//		cout<<P[i]<<endl;
	}
}
PR max(PR x,PR y){ return x.fi>=y.fi?x:y; }
void InitST(int n)
{
	Log[1]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++) Log[i]=Log[i>>1]+1;
	for (int i=1;i<=n;i++) mx[i][0]=MP(P[i],i);
	for (int i=1;i<=Log[n];i++)
		for (int j=1;j<=n-(1<<i)+1;j++) 
			mx[j][i]=max(mx[j][i-1],mx[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}
PR querymx(int l,int r)
{
	if (l>r) return MP(-100000,0);
	int t=Log[r-l+1];
	return max(mx[l][t],mx[r-(1<<t)+1][t]);
}
PR getans(int L,int R)
{
	if (L>R) return MP(-100000,0);
	int l=1,r=(R-L)/2+1;
	while (l<r)
	{
		int mid=(l+r+1)>>1;
		if (querymx(L+mid-1,R-mid+1).fi>=mid) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return MP(l,querymx(L+l-1,R-l+1).se);
}
int main()
{
	scanf("%s",t+1);
	int len=strlen(t+1);
	for (int i=1;i<=len;i++) s[i]=t[len-i+1];
	
	InitKMP(s,len);
	Manacher(t,len);
	InitST(len);
	
	int ans=0;
	for (int l=1,i=1,j=0;l<=len;l++)
	{
//		cout<<l<<" "<<i<<" "<<j<<" "<<t[i+1]<<" "<<s[j+1]<<endl;
		for (;i<=len;i++)
		{
			while (j&&t[i]!=s[j+1]) j=nxt[j];
			if (t[i]==s[j+1]) j++;
			if (j==l)
			{
				PR q=getans(i+1,len-l);
//				cout<<i+1<<" "<<len-l<<" "<<j<<":"<<q.fi<<" "<<q.se<<endl;
				if (q.fi+q.fi+l+l-1>Ans.c) Ans=(Ansnode){i-l+1,q.se,l,q.fi+q.fi+l+l-1};
				i++;
				break;
			}
		}
	}
	if (!Ans.len) { puts("1"); printf("%d %d\n",Ans.mid-(Ans.c-1)/2,Ans.c); }
	else 
	{ 
		puts("3"); 
		int q=Ans.c-Ans.len*2;
		printf("%d %d\n",Ans.l,Ans.len);
		printf("%d %d\n",Ans.mid-(q-1)/2,q);
		printf("%d %d\n",len-Ans.len+1,Ans.len);
	}
	return 0;
}
/*
xjowabclwjegohghlewcba
*/