剑指offer——斐波那契数列相关问题总结

题目一：写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。斐波那契数列定义如下：

                                                             

分析：递归，效率很低的解法

long long Fabonacci(unsigned int n)
{
	if(n<=0)
		return 0;
	if(n==1)
		return 1;
	return Fabonacci(n-1)+Fabonacci(n-2);
}

分析：简单的迭代方法，从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)计算出f(2),再根据f(1)和f(2)计算出f(3)……以此类推。很容易理解，时间复杂度是O(n)

long long Fabonacci2(unsigned n)
{
	int result[2]={0,1};
	if(n<2)
		return result[n];
	long long currOne=0;
	long long currTwo=1;
	long long r;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		r=currOne+currTwo;
		currOne=currTwo;
		currTwo=r;
	}
	return r;
}

题目二：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：

可以看做斐波那契问题。如果只有1级台阶，只有一种情况。如果有2级台阶，则有两种方法：一次是分两次跳，每次跳1级；另一种是一次跳2级。

对于一般情况，把n级台阶的跳法看成n的函数f(n)。n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面n-1级台阶的跳法数目，即f(n-1)；另外一种是选择第一次跳2级，此时跳法数据等于后面的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。

因此，n级台阶的不同跳法总数是f(n)=f(n-1)+f(n-2)。所以答案同上，上面写法只保存了技术为n的方法数，如果想保存1到n的方法，程序如下。

int jumpFloor(int number)
{
    if(number<=1)
        return 1;
    if(number==2)
        return 2;
    vector <int>result(number+1,0);
    result[1]=1;
    result[2]=2;
    for(int i=3;i<number+1;i++)
        result[i]=result[i-1]+result[i-2];
    return result[number];
}

题目三：矩形覆盖：我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

分析：

假设现在是有8个2*1的小矩形去覆盖一个2*8的大矩形。我们把覆盖方法数记为f(8)。用第一个1*2的小矩形去覆盖大矩形的最左边有两个选择，竖着放或者横着放。当竖着放的时候，右边还剩下2*7的区域，这种情况下的覆盖方法是f(7)。接下来考虑横着放的情况。当用1*2的小矩形横着放在左上角的时候，左下角必须横着放一个1*2的小矩形，而在右边还剩下2*6的区域，这种情况下的覆盖方法记为f(6)。

因此f(8)=f(7)+f(6)。可以看出，这仍然是斐波那契数列。

题目四：疯狂跳台阶：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：

假设现在n=10，方法数记为f(10)。如果第一下跳了1级，那么剩下的方法为f(9)，如果第一下跳了2级，那么剩下的方法是f(8)，依次类推……，如果第一下跳了9级那么剩下的方法是f(1)，如果第一下就直接跳上10级，那么就只有一种方法。

因此，f(10)=f(9)+f(8)+f(7)+f(6)+f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)+1；

刚开始f(1)=1，f(2)=2。

程序见下：

int jumpFloorII(int number)
{
    if(number<=1)
        return 1;
    if(number==2)
        return 2;
    vector<int>result(number+1,0);
    result[1]=1;
    result[2]=2;
    for(int i=3;i<=number;i++)
    {
        {
          for(int j=1;j<i;j++)
              result[i]+=result[j];
        }
        result[i]+=1;
    }
    return result[number];
}

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