【笔记】Splay 详细解读

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简介

Splay 是一种平衡树，并且是一棵二叉搜索树（BST）。

它满足对于任意节点，都有左子树上任意点的值 < 当前节点的值 < 右子树上任意点的值。

优点：支持多种操作。
缺点：常数较大。

单次操作均摊复杂度 $O(\log n)$。

(注：关于 Splay 单次操作均摊复杂度的证明见 OI-Wiki)

Splay 基于旋转操作维护树的平衡。旋转分为左旋 (zag) 和右旋 (zig)。

旋转，即在保证平衡树中序遍历不变的前提下，改变整个树的深度。

右旋

对于单次操作 zig(a) ，将节点 $a$ 左儿子的左儿子（$c$）接到 $a$ 的左儿子处，将 $c$ 的右儿子接到 $b$ 的左儿子，将 $c$ 的右儿子改为 $b$。

这样，我们完成了一次右旋操作，操作前后，$a$ 左子树的中序遍历都为 DcEbF。

左旋

左旋即右旋的逆过程，将每一步反过来即可。

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核心思想

每次操作之后，都将被操作的节点旋转至根节点。

这个和均摊时间复杂度有关。

操作

a. Splay

每次调用函数 splay(x, k) 表示把点 $x$ 旋转至点 $k$ 下方。

特别地，当调用 splay(x, 0) 时，表示把点 $x$ 旋转至根节点。

有两种情况：

1. $x,y,z$ 成一条链

2. $x,y,z$ 不成一条链

b. 插入

• 根据 BST 性质，找到该元素所在位置并新建节点。插入后将该节点旋转至根节点。
• 当要求将一个序列插到 $y$ 的后面时：
  1. 找到 $y$ 的后继 $z$。
  2. 将 $y$ 转到根。（splay(y, 0);）
  3. 将 $z$ 转到 $y$ 的下方。（splay(z, y);）由于 $z>y$，所以 $z$ 是 $y$ 的右儿子。
  4. 显然，此时将要插入的序列接到 $z$ 的左儿子（∅）上即可。

c. 删除

• 删除一段区间 $[l,r]$。
  1. 分别找到 $l$ 的前驱 $p$ 和 $r$ 的后继 $q$。
  2. 将 $p$ 转到根节点。
  3. 将 $q$ 转到 $p$ 下方。由于 $p<q$，所以 $q$ 是 $p$ 的左儿子。
  4. 显然，要删除的区间就是点 $p$ 的整个左子树。直接变没即可。

信息的维护

以模板题 AcWing 2437. Splay 为例。

本题要求我们进行区间翻转操作。

因此维护两个值&