数学优化与凸集2（斯坦福凸优化笔记2）

最新推荐文章于 2025-05-25 20:23:23 发布

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#斯坦福 #凸优化 #Boyd #凸集 #仿射集

本文深入探讨了仿射和凸集的数学概念，包括直线、仿射集合、凸集的定义及性质。介绍了超平面、半空间、Euclid球、椭球、范数球、范数锥、多面体和半正定锥等常见凸集的特性和几何表示。这些知识来源于斯坦福大学的Boyd教授的凸优化课程。

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1 仿射和凸集

1 直线和线段

设 $x_1 \neq x_2$ 为 $R^n$ 空间中的两个点，那么具有下列形式的点
$y=\theta x_1+(1-\theta)x_2,\theta \in R$
组成一条穿越 $x_1$ 和 $x_2$ 的直线。如果 $\theta \in [0,1]$ ,就构成了 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的闭线段。

2 仿射集合
如果通过集合 $C \subseteq R$ 中任意两个不同点的直线仍在集合中，那么集合 $C$ 是仿射的。
这个概念可以扩展到多个点的状况，如果 $\theta_1+\cdots+\theta_k=1$ ，我们称具有 $\theta_1x_1+\cdots+\theta_kx_k$ 形式的点为 $x_1,\cdots x_k$ 的仿射组合。
根据仿射集合的定义，如果 $C$ 是一个仿射集合， $x_1,\cdots x_k \in C$ ,且 $\theta_1+\cdots+\theta_k=1$ ，那么θ1x1+⋯+θkxk