HDU1142 A Walk Through the Forest

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最短路径

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本文介绍了一种使用迪杰斯特拉算法结合动态规划解决特定图中从点1到点2的不同路径计数问题的方法。首先计算点2到每个点的最短路径，再通过递归方式求解有效路径的数量。

题意：给你一个图，求从点1到点2有多少种不同的走法，并且每种走法都必须往点2更近的方向走。（也就是说下一个点必须比当前点更接近点2）

思路：因为必须往点2更近的方向走，所以第一步必须先求出点2到每一个点的最短路径。用迪杰斯特拉算法。

设定一个DP数组，DP[i] 表示第i点到点2有多少种符合条件的走法。然后用递归的方法从1点求出到2点的符合条件的走法。具体思想看代码。

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1000 + 10
#define INF 0x3ffffff

int dp[MAXN];
int map[MAXN][MAXN];
int dis[MAXN];//存放点2到各个点的最短路径，同时也是各个点到点2的最短路径
bool visited[MAXN];
//单元最短路径算法
void Dijkstra(int start,int n) {
    int minNode;
    dis[start] = 0;
    for (int cnt=0; cnt<=n; cnt++) {
        int min = INF;
        for (int i=0; i<=n; i++) {
            if (!visited[i] && dis[i] < min) {
                min = dis[i];
                minNode = i;
            }
        }
        visited[minNode] = true;
        for (int k=1; k<=n; k++) {
            if (!visited[k] && dis[k] > dis[minNode] + map[minNode][k]) {
                dis[k] = dis[minNode] + map[minNode][k];
            }
        }
    }
}
//记忆搜索，dp[i]表示第i个节点到第二个节点有多少种方法到底。
int dfs(int v, int n) {
    if (dp[v] != -1) {
		//因为初始化的时候，所有节点都是-1，所以这一步导致会直接找到第节点2.然后在找到离
		//节点2最近的点，一直到点V。而在这个过程中，每一个路过的节点都会被计算到第二个节
		//点的总共方法数。
        return dp[v];
    }
    if (v == 2) {
        return 1;
    }
    dp[v] = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        if (map[v][i] != INF && dis[i] < dis[v]) {
			//如果v到i有路可以走，并且，v到2的距离比i到1的距离小。
            dp[v] += dfs(i, n);
        }
    }
    return dp[v];
}
void init() {
	//初始化
    for (int i=0; i<MAXN; i++) {
        visited[i] = false;
        dis[i] = INF;
        dp[i] = -1;
        for (int j=0; j<MAXN; j++) {
            map[i][j] = INF;
        }
    }
}
int main() {
    int n, m;
    while (cin>>n, n) {
        cin>>m;
        init();
        for (int i=0; i<m; i++) {
            int a, b, c;
            cin>>a>>b>>c;
            map[a][b] = c;
            map[b][a] = c;
        }
        Dijkstra(2, n);
        cout<<dfs(1, n)<<endl;
    }
}