4.利用逻辑门实现加法器和减法器

了解了门，我们就可以做一些实际应用了，计算机的主要目的是计算，而门可以用于计算，所以可以说计算机是由各种不同的门组成。接下来我们要做的就是做一个二进制加法器，因为如果做出加法器，就可以扩展为减法，乘法，除法。而我们如何实现加法器呢？我们这次只使用一些很常见、并且有些落后的部件完成：开关、灯泡、导线、电池、门。

输入为开关，输出为一排灯泡，亮表示1，灭表示0。如果二进制串进行加法，我们肯定会想到一位一位进行加法运算，因此如果有8位二进制数，我们就要分8部运算。通过尝试可以知道，只有当输入为两个1时，进位位才为1，因此符合与门特性，而当输入为两个1或两个0时，加法位才会为0.这个符合异或特性。异或我们怎么用最基本的逻辑门表示呢？我们可以通过两个与非门，一个或门构成。这样就构成了一个半加器。

称为半加器的目的是因为我们没有考虑低位的进位问题，如果考虑了，我们就称为全加器。而全加器是由2个半加器和一个或门组成。

接下来我们谈谈一共要用多少个继电器：

进位位是与门，所以由2个继电器组成。

加法位是一个或门，一个与非门，一个与门组成，所以由6个继电器。

半加器由进位位和加法位组成，则有8个继电器。

全加器由两个半加器和一个或门组成，则有18个继电器。

我们有了全加器，则可以通过级联组成一个二进制串的加法。

但是现在计算机使用的是晶体管，所以需要将继电器换成晶体管。

 我们前面实现了加法器，如同我们所说，减法是加法的扩展，所以实现了加法器，只需要稍作修改，就能实现减法，而减法最烦人的就是借位，因此我们就想是否有方法能够避免借位呢？
答案是有的，
（1）当被减数>减数时，设被减数为x，减数为y，假设x和y都是三位十进制数，只需要将x-y=x+(999-y)+1-1000,这个式子看起来很普通，但是就能避免借位问题。因为999-y不可能发生借位，其他的步骤也不可能。
（2）当被减数<减数时，x-y=-(999-(x+(999-y))),这样也能避免借位。
这里我们实现的是二进制的减法，所以类似于上面，
（1）当被减数>减数时，x-y=x+(111-y)+1-1000.
（2）当