卡尔曼滤波

最新推荐文章于 2025-03-30 11:57:38 发布

xiaozhang2019

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简介(Brief Introduction)

卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。在很多工程应用(如雷达、计算机视觉)中都可以找到它的身影。同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要课题。例如,对于雷达来说，人们感兴趣的是其能够跟踪目标。但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息，设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波)，也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑)。
斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑便使用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)、Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。

简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

KF的基本思想是：采用信号、噪声、状态空间模型，利用前一时刻的状态最优估计值及其误差方差估计和现时刻的量测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的最优估计值。即：对现在时刻的估计（可能是同时估计好几个变量）是取决于前一时刻估计误差和现在时刻的某个观测值。通过不断的预测和实测来修正自己的估计值，最后达到一个理想的平稳状态。

线性卡尔曼滤波原理

五大公式

卡尔曼原理可用以下五个公式表达：

X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ………… (1)

P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)

公式说明

扩展卡尔曼

实际系统总是存在不同程度的非线性，对于非线性系统滤波问题，常用的处理方法是利用线性化技巧将其转化为一个近似的线性滤波问题，这就是扩展Kalman 滤波方法(Extended Kalman Filter,EKF )思路。扩展Kalman 滤波建立在线性Kalman 滤波的基础上，其核心是对一般的非线性系统将滤波值非线性函数f()和h()展开成Taylor级数并略去二阶及以上项，得到一个近似的线性化模型，然后应用Kalman 滤波完成对目标的滤波估计处理。

无迹卡尔曼

扩展Kalman滤波是对非线性的系统方程或者观测方程进行泰勒展开并保留其一阶近似项，不可避免地引入了线性化误差。如果线性化假设不成立，采用这算法则会导致滤波器性能下降以至于造成发散。无迹Kalman 滤波(Unscented Kalman Filter,UKF )摒弃了对非线性函数进行线性化的传统做法，采用Kalman 线性滤波框架，对于预测方程，使用无迹变换(Unscented Transform, UT) 来处理均值和协方差的非线性传递问题。

UKF依然没有脱离KF的框架。只不过对下一时刻状态的预测方法变成了sigma点集的扩充与非线性映射。这样做有两个优点：1、避免了复杂非线性函数雅可比矩阵的复杂运算；
2、保证了非线性系统的普遍适应性。此外，由于高斯分布sigma点集的扩展，使高斯分布的噪声得到抑制。

KF优点：计算简单
KF缺点：高斯线性模型约束
EKF优点：可以近似非线性问题
EKF缺点：高斯噪声约束，线性化引入了误差会可能导致滤波发散，雅克比矩阵（一阶）及海塞矩阵（二阶）计算困难
UKF优点：模型无损失，计算精度高
UKF缺点：高斯噪声约束

在准确建模的前提下，KF，EKF和UKF都有不错的表现。但是对于很多复杂的系统而言，建模就是一个复杂的问题。如果模型参数没办法准确估计，那么卡尔曼滤波器的应用就会受到限制。在不知道模型参数的情况下，可以通过蒙特卡洛采样，特别是粒子滤波的方法来对参数进行估计