动态规划-02完全背包

继上一篇01基础背包，本文主要利用Java实现“完全背包”问题，该问题类似于基础背包问题，主要区别在于“完全背包”对于放置的物品个数没有限制，即可以重复选取，每个物品的选取放置次数可以是0、1、2······，情况相比基础背包要复杂的多，其核心方程也可以写成类似于01问题的方程，如下：

c[i][j] = max(c[i-1][j-(k*w[i-1])] + k*v[i-1], c[i-1][j])

其中，k表示该物品放置次数，该公式完全由基础背包方程演化而来。

假设：定义可容纳总重量W =10 Kg，物品种类 N = 4，每件物品重量w[i]，对应价值v[i]，求解在可容纳重量范围内如何选取可获最大价值。

本题具体题目：

可能出现的背包情况：

上述表格同样从左到右，从上到下生成，其生成原理同上一篇博文一样，这里不做赘述，以下为采用二维数组和一维数组处理该问题的源代码：

//一维数组，只需要将01问题中的j循环顺序逆序即可
	private static int[] BP_method02_1D(int m,int n,int[] w,int[] v){
		int c[] = new int[m+1];
		for (int i = 0; i < m+1; i++) {
			c[i] = 0;//不必完全装满，则全部初始化为0
		}
		
		for (int i = 0; i < n; i++) {//限定物品种类，无重复
			for (int j = w[i]; j < m+1; j++) {//限定总重量
				c[j] = Math.max(c[j-w[i]] + v[i], c[j]); 
			}
		}
		return c;
	}

//二维数组处理，注意k循环中获取最大价值采用了List集合排序
	private static int[][] BP_method02_2D(int m,int n,int[] w,int[] v){
		int c[][] = new int[n+1][m+1];
		List<Integer> list = new ArrayList<>(); 
		for (int i = 0; i < n+1; i++) {
			c[i][0] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < m+1; i++) {
			c[0][i] = 0;
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) {//限定物品种类，无重复
			for (int j = 1; j <= m; j++) {//限定总重量
				list.clear();
				for (int k = 0; (k*w[i-1] <= m) && (k*w[i-1]>= 0); k++) {
					if (j >= k*w[i-1]) {
						list.add( Math.max(c[i-1][j-(k*w[i-1])] + k*v[i-1], c[i-1][j]));
					}
				}
				c[i][j] = Collections.max(list);
			}
		}
		return c;
	}

其输出结果如下：

一维选取：
0 0 5 5 10 10 15 15 20 20 25
二维选取：
0  3  3  6  6  9  9  12  12  15  
0  3  4  6  7  9  10  12  13  15  
0  5  5  10  10  15  15  20  20  25  
0  5  5  10  10  15  15  20  20  25