概率分布、概率分布函数

本文探讨了离散型和连续型随机变量的概率分布。对于离散型随机变量,重点介绍了概率函数,它表示随机变量取特定值的概率;而概率分布则是列出所有可能取值及其对应概率的列表。概率分布函数则是这些概率的累计结果。对于连续型随机变量,概率密度函数通过定积分表示概率,它是分布函数的导数,用于描绘概率分布的形状。

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离散型随机变量

概率函数

  • 概率函数是用函数的形式表示概率
  • Pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)P_i=P(X=a_i)(i=1,2,3,4,5,6)Pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)
    在这个函数里,自变量 X 是随机变量的取值,因变量 PiP_iPi是取值的概率。它就代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

概率分布

Xx1x_1x1 , x2x_2x2 , x3x_3x3 , x4x_4x4
PiP_iPip1p_1p1 , p2p_2p2 , p3p_3p3, p4p_4p4

这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率。概率分布要把所有可能出现的情况全部都列出来。

概率分布函数

在这里插入图片描述
F(x)就代表概率分布函数

  • 概率分布函数是概率函数取值的累加结果,又叫累积概率函数。

连续型随机变量

概率密度函数及概率分布函数

在这里插入图片描述
P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)=∫abf(x)dxP(a \leq X \leq b)=F(b)-F(a)= \int ^{b}_{a}{f(x)dx}P(aXb)=F(b)F(a)=abf(x)dx

  • 概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数,面积即为概率。
    在这里插入图片描述
  • 左边F(x)是连续型随机变量分布函数画出的图形,右边f(x)是连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数。
  • 如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大!
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