线性代数06 矩阵的逆以及求法

我们已经了解了对于方程组来说，如何根据他的系数矩阵的变化，来实现高斯-诺尔当消元算法，并可以快速的判断方程组的解的情况。这样看上去非常的完美，但是我们在线性代数中，还有一个非常重要的部分就是矩阵的运算，似乎除了初等变换以外，现在目前还对任何的求解线性方程没有帮助。现在我想要探讨一下矩阵的逆。以及逆矩阵的求法，看看它有什么用把！

1 逆矩阵

对于任何一个矩阵A来说，若存在一个矩阵B，使得：$$A\ast B=I$$
那我们称这个矩阵B为矩阵A的逆矩阵，通常我们记作$$A^{-1}$$
因此对于一个线性方程Ax=b来说，我们可以做以下的变换：
$$\begin{gathered} A^{-1}Ax=A^{-1}b \\ Ix=A^{-1}b \\ x=A^{-1}b \end{gathered}$$
由以上式子，我们可以知道，若我们能够求的系数矩阵的逆矩阵，那么我们就可以通过矩阵乘法来求解x。

2 求法

（1）初等变换求矩阵的逆（通用解法）

原理：
对于矩阵A来说，若存在一个矩阵E，使得以下式子成立：
$$E\ast A=I$$
那么对于矩阵E来说，一定可以将矩阵E分解成若干个代表了一次初等变换的初等矩阵，这些初等矩阵的作用，就是将原来的矩阵A经过若干次初等变换，变成了单位矩阵：
$$E=E_1{E}_2......E_n$$
根据逆矩阵的定义，我们很容易知道以下式子的成立：
$$E=A^{-1}$$
我们此时不妨假设有以下操作同时进行：
$$\begin{gathered} 操作1：E_1\ast E_2......\ast E_n\ast A=I \\ 操作2：E_1\ast E_2......\ast E_n\ast I=A^{-1} \end{gathered}$$
因此，我们若是要求逆矩阵，我们只需要将把A变成单位矩阵的初等矩阵找出来，就可以知道逆矩阵。对于这个初等矩阵，我们完全可以间接的通过在单位阵上的变化来体现。
可以认为，我们想要的是使得A发现了变化的东西，而单位阵是一壶清水，任何变化作用于单位阵，得到的结果是变化本身。所以通过以下变换，我们可以求得A的逆矩阵：
$$[A|I]=[I|A^{-1}]$$
我们所要做的就是将此矩阵的A部分变为单位矩阵即可。

（2）伴随矩阵求逆

对于矩阵A来说，如果设它的代数余子式为$$C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3}.....C_{n,n}$$
我们可以将这些代数余子式也组成一个矩阵：
$$A^{\ast }=\left\{\begin{array}{cccc}{C}_{1,1}& C_{1,2}& ...& C_{1,n}\\ C_{2,1}& C_{2,2}& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...\\ C_{n,1}& C_{n,2}& ...& C_{n,n}\end{array}\right\}$$
我们称这个矩阵为伴随矩阵。不妨将伴随矩阵与原矩阵A相乘，看看能得到什么：
$$A\ast A^{\ast }=\left\{\begin{array}{cccc}|A|& 0& ...& 0\\ 0& |A|& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& |A|\end{array}\right\}=|A|I=|A|$$
原理来自于矩阵的代数余子式的定义以及性质，这里简单提一下：
（1）n阶行列式|A|等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积
（2）n阶行列式|A|的第i行元素和第k行（k≠i）的元素的代数余子式的乘积之和等于0
以上可以小结为一行元素与自己对应的代数余子式的乘积之和等于行列式，而与别人对应的代数余子式的乘积之和就等于0.

所以我们可以得到：
$$\begin{gathered} A{A}^{\ast }=|A| \\ {A}^{-1}A{A}^{\ast }=A^{-1}|A| \\ \frac{A^{\ast }}{|A|}=A^{-1} \end{gathered}$$

这样一来，矩阵A的逆就可以通过矩阵A的伴随矩阵来求得。但是要说明的是，这种伴随矩阵求逆的方法，只适合简单的低阶的矩阵的求逆，并且必须是方阵。

（3）其他方法

其他方法例如使用定义求解，或者使用分块矩阵求解，有一些小的技巧在其中，就不再这里进行过多的说明了。

3 概念定义

代数余子式
伴随矩阵