学习笔记：三分

简述

类比二分，三分是把原来的序列分成3份，通过大小关系的比较来收缩空间，进行逼值，适用于对有峰值的数据（也就是小山一样）来找最值，准确的描述一下就是先单增后单减，或者先单减后单增，当然完全单调的数据也是可以的。

具体实现

如何缩小区间？

以上凸为例，当前有l,ml,mr,r四个点（按照从小到大排序）

f(ml)>f(mr)时，说明峰在mr左边，那么让r=mr,否则让l=ml;

下凸方向相反

怎么分？

浮点数

这个很好处理，不停夹逼直到区间小于eps

整数

这里稍微有点不一样，因为整数运算的性质并不是那么好，也没有二分那样特殊，边界处理会出问题， 大概两种方法来处理。

第一种：先二分，再二分，就是1/4,1/2这两个位置，很方便，没有边界，但是时间复杂度最坏情况下差了一点。

第二种：找三等分点，在r-l<=2的时候，直接暴力枚举最后的1~3个点，我比较喜欢这个。

时间复杂度

网上有很多奇奇怪怪的分析，我有点不以为然。

按照第二种处理方式分析每次我们可以把区间缩小为原来的2/3

设我们进行了t次收缩,则:
$n*(2/3)^t=1$

$t=log_{1.5 }^n$

然后每次进行了两次运算，所以一共是O($2log_{1.5 }^n$)

网上有些认为是O(2log3n)或者O(3log3n)，并不知道怎么来的，但是我的和这两种算下来数值上差不多，所以也不必太纠结，大概就是log级别的时间复杂度,而且比二分高。

代码

这是一段整数上凸的代码,其它的类比一下吧。

LL sanfen(int L,int R)
{
    while(R-L>2)
    {
        int midl=L+(R-L)/3,midr=R-(R-L)/3;
        if(f(midl)>f(midr))R=midr;
        else L=midl;
    }
    LL ret=-inf;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        ret=max(ret,f(i));
    return ret;
}

注意

• 上凸和下凸代码不同，不要混用
• 注意分的时候要用差值/3，不能像二分一样全部加起来/3。
• 整数注意分界，>=3(>2),而且简单数据可能看不出来，所以注意一点。
• 奇怪的是很多时候即使你三分写得很错，答案还是很对，所以一个是注意怀疑三分算法正确性，一个是可以考虑乱搞。