学习笔记：KD-TREE

前言

一个感觉特别单一的数据结构啊，Po大爷才写两个这个题呢。

然后仔细研究了一下KD-TREE为什么要这样做，发现其中的每一个操作都是很巧妙的。

原理简述（瞎逼逼）

KD-Tree确实应该算是计算几何的一种东西了吧，可以看作线段树的高维推广还自带离散功能。

KD-Tree也是一个二叉树，并且除了叶子结点外，每个结点都代表了一堆点，叶子结点则代表了一个，和线段树是很像的。

每个点我们要维护它的各个坐标的最大值以及最小值，这是有利于后面的搜索操作的。

它的分割原则是对于一个K维的一些点，用一个超平面（k-1维）来把这堆点分割成平均的两部分，如何平均，用一些STL的nth_element函数就可以了（下面有介绍）

在分割的时候，我们根据不同的层数，不停的转变被分割的那一维，本来一直用一维也是可以的，但是对于接下来的搜索操作就不是很有利了。

现在讲一下一个搜索操作：对于一个结点，我们要找最大值/最小值，就按照我们对于一堆点坐标最值来贪心地去选择顺序搜索，并且及时剪枝，所以这似乎就是一个优雅的暴力。不过权威证明，它的时间复杂度是O(n^1/2),并且在实际运行中跑得贼快。这里也可以看我们为什么要不停换维度分割，我们让一堆点尽量存在在一个比较‘方’的区间里面，有利于我们的搜索。（仔细体会一下嘛）

插入操作就按照划分方式往下放就行了，但是由于插入过多可能不平衡，所以我们可以利用替罪羊树的思想在一定情况下进行暴力重构。

时间复杂度的话：

建树是O(nlogn)

其它大概都是O(logn)

搜索是O(n^（1-（1/k））)但是实际效果好很多

再谈KD-Tree

KD-Tree的时间复杂度随着维度升高并不是线性增长的，一般二维还是sqrt(n)的级别，那么和log^2(n)，基本上是没有差距的，但是更高纬度可能就不行了，所以最好是保证在二维之内，KDTree的维护有两个方式，一个是暴力重构，一个是一来就把数据全部建好。

然而KD-Tree找距离是可以被卡成O(n)的，但是毒瘤出题人要是偏要故意卡那就认了呗。不过一般数据结构不知道能不能卡。

数据的限制一般是很难降维的，毕竟咱不是三体，所以一旦分析除了，最好不要尝试降维，而是找合适的数据结构。

KD-Tree查找时间复杂度的由来：由于为了贪心查找距离，所以我们要求当前空间尽量方，这样比较好找，但是就会出现一个区间本来都抵满了还要被继续分割的情况，所以是比logn^2要大一些的，而且维度越高越大。

关于维度的选择，不要觉得只是拿来玩的，由于不同维度可能有不同的性质，比如区间加法或者，

所以遇到二维以内的在线问题就直接上KD-Tree吧， 也就是说懒得去写树套树了，但是维度更高就尝试用其它方法降维，比如二分、可持久化，如果可以用莫队，CDQ什么的也不要用KD-Tree，因为KD-Tree时间复杂度不好保证。

注意二分也是可以降维的东西。

一般来说sqrt(n)的算法都是可以代替两个log的，所以懒的话就多考虑下sqrt(n)算法吧。

介绍一个STL函数:nth_element

用法介绍:nth_element(a+1,a+n,a+m+1)

含义：就是把a数组第n大的元素放在第n个位置，并且比n小的在n前面，比n大的在n后面

时间复杂度：元素较多大概是O(n)，较少/最坏时间复杂度是O(n^2)，是一种很高效的算法了。

说说题目