【深度学习】梯度计算

1. 什么是梯度？

打个比方：想象你在一片黑暗的山丘上，手里有一盏灯，想找到山谷里最低的那一点（也就是模型的最优解）。梯度就像这盏灯的光束，它会告诉你：“往哪个方向走，能最快下山。”

• 数学定义：梯度是函数在某一点的“最陡上升方向”。但在机器学习中，我们通常需要找最小值，所以会朝梯度的反方向走（相当于“下山”）。

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2. 为什么需要梯度？

• 目标：训练模型时，我们需要调整参数（比如房价预测中的“面积权重”“房间数权重”），让模型预测值尽量接近真实值。
• 问题：如果盲目的调整参数，可能会像无头苍蝇一样找不到方向。梯度就相当于给了你一张“地图”，告诉你每一步该往哪迈多大的步子。

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3. 计算步骤

• 假设模型参数
• 给错误打分（损失函数）
• 计算梯度（找方向）
• 调整参数（开始“下山”）

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4. 梯度的实际作用

• 指导方向：梯度指向损失函数下降最快的方向（即最优参数）。
• 控制步长：学习率决定调整幅度（太小会走太慢，太大容易“跳过”最优解）。
• 自动化实现：在PyTorch中，只需调用 .backward() 和 .step()，它会自动计算梯度并更新参数。

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案例

假设你想用机器学习预测房价，已知以下数据：

房屋面积（$x_1$）	房间数（$x_2$）	真实房价（$y$）
80㎡	2室	200万元
100㎡	3室	300万元
120㎡	4室	400万元

我们用线性模型 $y=w_1{x}_1+w_2{x}_2+b$ 预测房价，目标是找到最优的 $w_1,w_2,b$。

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步骤1：假设初始参数

假设模型参数为 $w_1=1,w_2=1,b=0$，预测房价为：
• 第一套房：$80\times 1+2\times 1+0=82$ 万元（误差：$200-82=118$）
• 第二套房：$100\times 1+3\times 1+0=103$ 万元（误差：$300-103=197$）
• 第三套房：$120\times 1+4\times 1+0=124$ 万元（误差：$400-124=276$）

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步骤2：计算损失函数

用均方误差（MSE）作为损失函数：
$$l=\frac{1}{3}\left[(200-82{)}^2+(300-103{)}^2+(400-124{)}^2\right]=\frac{1}{3}(13924+38809+75696)=42,969.67$$

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步骤3：计算梯度（公式应用）

公式1：损失对中间变量 $y$ 的敏感度（$v$）

对每个预测值 $y_i$ 求偏导数得到梯度 $v$：
$$\frac{\partial l}{\partial y_i}=\frac{2(y_{{\text{pred}}_i}-y_{{\text{real}}_i})}{3}$$

中间变量 $y$ 是预测值，梯度 $v$ 表示每个预测值对损失的直接影响：
$$v=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial l}{\partial y_1}\\ \frac{\partial l}{\partial y_2}\\ \frac{\partial l}{\partial y_3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2(82-200)/3\\ 2(103-300)/3\\ 2(124-400)/3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78.67\\ -131.33\\ -184\end{array}\right)$$

公式2：中间变量 $y$ 对参数 $w_1,w_2,b$ 的敏感度（$J$）

雅可比矩阵 $J$ 表示每个参数对预测值的影响：
$$J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial w_1}& \frac{\partial y_1}{\partial w_2}& \frac{\partial y_1}{\partial b}\\ \frac{\partial y_2}{\partial w_1}& \frac{\partial y_2}{\partial w_2}& \frac{\partial y_2}{\partial b}\\ \frac{\partial y_3}{\partial w_1}& \frac{\partial y_3}{\partial w_2}& \frac{\partial y_3}{\partial b}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& x_{12}& 1\\ x_{21}& x_{22}& 1\\ x_{31}& x_{32}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}80& 2& 1\\ 100& 3& 1\\ 120& 4& 1\end{array}\right)$$

• 解释：这是一个雅可比矩阵，描述了你的模型中三个参数（$w_1$、$w_2$、$b$）如何影响三个中间变量（$y_1$、$y_2$、$y_3$）。

第一套房的预测值比真实值小118，导致损失增加约46单位。

矩阵中的每一行对应一个房屋样本，每一列对应参数的影响：

• 第一行（80㎡ 房子）
  • $\frac{\partial y_1}{\partial w_1}=80$: 面积权重（$w_1$）每增加1，预测房价增加80元。
  • $\frac{\partial y_1}{\partial w_2}=2$: 房间数权重（$w_2$）每增加1，预测房价增加2元。
  • $\frac{\partial y_1}{\partial b}=1$: 截距（$b$）每增加1，预测房价增加1元。

• 第二行（100㎡ 房子）
  • $\frac{\partial y_2}{\partial w_1}=100$: 面积权重（$w_1$）对这套房的影响更大。
  • $\frac{\partial y_2}{\partial w_2}=3$: 房间数权重（$w_2$）每增加1，房价增加3元。

• 第三行（120㎡ 房子）
  • $\frac{\partial y_3}{\partial w_1}=120$: 面积权重（$w_1$）对大房子影响最大。
  • $\frac{\partial y_3}{\partial w_2}=4$: 房间数权重（$w_2$）对大房子影响也更大。

最终梯度（链式法则）

损失对参数的梯度为$$\frac{\partial l}{\partial \theta }=v\cdot J$$
详细计算：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial l}{\partial w_1}& =(-78.67)\times 80+(-131.33)\times 100+(-184)\times 120\\ & =-6293.6-13133-22080=\boxed{-41506.6}\\ \frac{\partial l}{\partial w_2}& =(-78.67)\times 2+(-131.33)\times 3+(-184)\times 4\\ & =-157.34-393.99-736=\boxed{-1287.33}\\ \frac{\partial l}{\partial b}& =(-78.67)+(-131.33)+(-184)=\boxed{-394}\end{array}$$

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步骤4：更新参数

参数更新公式：
$$w^{\prime }=w-\alpha \cdot \frac{\partial l}{\partial w}$$

假设学习率 $\alpha =0.01$，计算结果：
$$\begin{array}{rl}{w}_1^{\prime }& =1-0.01\times (-41506.6)=1+415.066=\boxed{416.066}\\ w_2^{\prime }& =1-0.01\times (-1287.33)=1+12.8733=\boxed{13.8733}\\ b^{\prime }& =0-0.01\times (-394)=0+3.94=\boxed{3.94}\end{array}$$

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计算结果说明与分析

• 初始参数严重偏离最优值
  初始参数 $w_1=1,w_2=1,b=0$ 导致预测值远低于真实房价（如第一套房预测 82 万元 vs 真实 200 万元），误差极大。
  后果：损失函数对参数的梯度绝对值极大（如 $\frac{\partial l}{\partial w_1}=-41506.6$），学习率 $\alpha =0.01$ 乘以梯度后，参数更新量级达数百甚至数千。

• 学习率过高
  当前学习率 $\alpha =0.01$ 与极大梯度相乘，导致参数更新幅度失控。
  示例：
  $w_1$ 从 $1$ 变为 $416.066$，单次更新后预测值：
  $416.066\times 80+13.8733\times 2+3.94\approx 33,300$ 万元（远超真实值 200 万元）。

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关键总结

1. 梯度计算正确性：
   • 雅可比矩阵维度为 样本数 $\times$ 参数数，链式法则推导无误。
   • 参数更新公式明确展示负梯度如何转化为参数增大。

2. 实践建议：
   • 初始学习率不宜过高，避免单次更新幅度过大。
   • 可通过多次迭代（如1000次）观察参数收敛过程。

3. 自动化梯度计算：
   在PyTorch中，只需以下两行代码即可自动完成上述所有计算：

   model.backward()   # 计算梯度
   optimizer.step()   # 更新参数
   

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实现代码

import torch

# 1. 数据准备
x1 = torch.tensor([80, 100, 120], dtype=torch.float32)  # 房屋面积
x2 = torch.tensor([2, 3, 4], dtype=torch.float32)      # 房间数
y_true = torch.tensor([200, 300, 400], dtype=torch.float32)  # 真实房价

# 2. 初始化参数（设置需要计算梯度）
w1 = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
w2 = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
b = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)

# 3. 设置优化器
optimizer = torch.optim.SGD([w1, w2, b], lr=0.01)

# 4. 清零梯度
optimizer.zero_grad()

# 5. 前向传播
y_pred = w1 * x1 + w2 * x2 + b  # 线性模型预测

# 6. 计算损失（均方误差）
loss = torch.mean((y_pred - y_true) ** 2)

# 7. 反向传播计算梯度
loss.backward()

# 8. 更新参数
optimizer.step()

print(f"损失值: {loss}")  # 42969.66796875
print(f"输出梯度:")
print(f"w1: {w1.grad}") # -41506.66796875
print(f"w2: {w2.grad}") # -1287.3333740234375
print(f"b: {b.grad}") # -394.0
print(f"更新参数:")
print(f"w1: {w1.item()}") # 416.0666809082031
print(f"w2: {w2}") # 13.873332977294922
print(f"b: {b}") # 3.93999981880188