拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

正反变换都要给上收敛域

出发点 jw 容易错 将 jw 换成 s

来自工程师

一、拉普拉斯变换：

1、引入

s为复变量
$$s=\sigma +jw$$

2、ROC 收敛域

保证傅里叶变换存在

收敛域通常是拉普拉斯变换的极点。（不包含极点）
$$\begin{gathered} X(s)=X(\sigma +jw)= \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }[x(t)e^{-at}]e^{-jwt}dt= \\ FT[x(t)e^{-at}] \\ a的值决定了收敛域 \end{gathered}$$

3、右边信号 左边信号

收敛轴

4.拉屎和辅食的关系

$$X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$$

若ROC 不包含虚轴，则傅里叶变换不存在
若 ROC 包含虚轴（不作为边界） 则傅里叶变换存在
若ROC边界为虚轴，则 拉普拉斯变换与傅里叶变换不对应

5、ROC与信号类型的关系

（1）有限长信号

收敛域为整个平面（极点有可能在原点 和 无穷处）

（2）左边信号

收敛域为 最左极点的左边

（3）右边信号

收敛域为 最右极点的右边

(4) 双边信号

当左边信号与右边信号的收敛域有重叠的时候才有收敛域

二、反变换

分左右信号，对留数加符号

留数

$$s_p是极点$$

一阶极点：

多阶极点：

eg1：

根据极点的收敛域求反变换：分成三个区域来求 根据左右信号或者双边信号来确定u(t)还是u(-t)

eg1：[外链图片转存中…(img-ncL9BMmc-1650850214226)]

根据极点的收敛域求反变换：分成三个区域来求 根据左右信号或者双边信号来确定u(t)还是u(-t)