(概率论)无偏估计

参考文章:(15 封私信 / 51 条消息) 什么是无偏估计? - 知乎 (zhihu.com)

首先,第一个回答中,马同学图解数学讲解得很形象,

我的概括是:“注意,有一个总体的均值u。然后,如果抽样n个,多次抽样,多次计算得到的样本均值的均值就是总体均值,那就叫做无偏估计。前面说的是无偏性,还有一个有效性,是指每次样本估计计算的结果离u很近。另外,还有一个一致性,指的是当采样样本数n逐渐增大,偏差逐渐减少。”

第二个回答的这一句话说得挺好。 

<think>好的,用户想了解无偏估计方法IPS的概念,特别是在机器学习和数据科学中的应用。首先,我需要明确IPS的全称,应该是Inverse Propensity Scoring,也就是逆倾向评分。接下来要解释它的基本概念,属于因果推断和缺失数据处理的范畴。 用户提到的引用中,引用[3]提到了无监督学习,但IPS可能更多与监督学习相关,特别是处理选择偏差的问题。需要确定IPS的核心思想,即通过倾向得分来调整样本权重,纠正由于数据收集过程中非随机缺失或选择偏差带来的估计偏差。 然后,要说明IPS的数学公式。这里需要用到概率论中的倾向得分,即给定特征X的情况下,样本被选中的概率。IPS方法通过将观察到的结果除以倾向得分,得到无偏的期望估计。公式应该是$\hat{E}[Y] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{Y_i \cdot D_i}{e(X_i)}$,其中$D_i$是选择指示变量,$e(X_i)$是倾向得分。 需要解释为什么这样做可以消除偏差,可能涉及到Horvitz-Thompson估计器的原理。同时,要提到倾向得分的估计方法,比如逻辑回归,以及应用场景,比如推荐系统、广告效果评估等。 还要注意IPS的假设,比如重叠性和无混淆假设,这些是保证估计无偏的重要条件。同时,用户可能关心IPS的优缺点,比如高方差问题,当倾向得分很小时,权重会放大方差,可能需要截断处理。 最后,结合用户提供的引用,特别是引用[2]提到的机器学习通过数据建立逻辑,IPS作为处理数据偏差的方法,可以提升模型的泛化能力。可能还需要提到在强化学习中的策略评估中的应用,但引用[3]提到强化学习部分未展开,所以可能需要简要说明。 检查是否所有数学公式都正确使用$...$或$$...$$格式,确保回答结构清晰,分点解释,并生成相关问题。例如,IPS的假设、优缺点、与其他方法的比较等。</think>### 无偏估计方法 IPS 的概念解析 **IPS(Inverse Propensity Scoring,逆倾向评分)** 是一种用于纠正数据选择偏差的无偏估计方法,广泛应用于因果推断、推荐系统、广告效果评估等领域[^3]。其核心思想是通过对样本的观测概率(倾向得分)进行逆加权,消除因数据非随机缺失或选择性收集导致的估计偏差。 --- #### 1. 数学定义与核心公式 假设观测数据中存在选择偏差(例如用户点击广告的行为仅部分被记录),定义: - $D_i \in \\{0,1\\}$ 表示第$i$个样本是否被观测到(如是否点击广告) - $Y_i$ 为潜在结果变量(如广告转化率) - $e(X_i) = P(D_i=1 | X_i)$ 为**倾向得分**,即给定特征$X_i$时样本被观测到的概率 IPS的无偏估计量可表示为: $$ \hat{E}[Y] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{Y_i \cdot D_i}{e(X_i)} $$ 此公式通过对观测结果$Y_i$进行逆倾向加权,抵消了选择偏差的影响。 --- #### 2. 关键假设 - **重叠性(Overlap)**:对所有$X_i$,倾向得分满足$0 < e(X_i) < 1$ - **无混淆性(Unconfoundedness)**:$D_i$与$Y_i$在给定$X_i$的条件下独立 - **正确模型设定**:倾向得分模型需准确反映真实选择机制 --- #### 3. 在机器学习中的应用场景 1. **推荐系统纠偏**:用户点击行为存在选择偏差(未点击不代表不感兴趣),IPS可修正模型训练目标[^3] 2. **强化学习策略评估**:评估历史策略的表现时,通过IPS加权处理动作选择偏差 3. **广告效果分析**:估算广告全局转化率时,仅观测到部分曝光数据,IPS可恢复无偏估计 --- #### 4. 代码示例(倾向得分估计) ```python from sklearn.linear_model import LogisticRegression # 估计倾向得分e(X)(使用逻辑回归) X = features # 特征矩阵 D = observed_labels # 是否被观测到的标签 propensity_model = LogisticRegression().fit(X, D) e_X = propensity_model.predict_proba(X)[:, 1] # 预测概率 # IPS估计 Y_obs = observed_outcomes ips_estimate = np.mean(Y_obs * D / np.clip(e_X, 1e-3, 1)) # 防止除以0 ``` --- #### 5. 优缺点分析 | **优点** | **缺点** | |---------|---------| | 理论无偏性 | 依赖倾向得分模型准确性 | | 可结合监督学习 | 高方差(尤其当$e(X_i)$较小时) | | 适用于离散动作空间 | 需要满足严格假设条件 | ---
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