搜索——H——找n的倍数(0,1组成的)

本文介绍了一种算法,用于找到一个仅由0和1组成的整数,该整数为给定正整数n的倍数。通过递推公式mod[i]=mod[i/2]*10+i%2生成01数,并检查其是否能被n整除。

一.题目描述

关于正整数n,编写一个程序,求得一个只由0和1构成的数,是n的整数倍(一个就好)

二.解题思路

这道题可以用搜索,深搜。但我还不大会用。

刚刚开始接触这类题,以后想出来了再补上。

我用的方法是慢慢的列举,从1,10,11,100,101,111,1000......这样子,想出来了一个循环可以解决

就是mod[0]=0;

则mod[i]=mod[i/2]*10+i%2;

这个式子就可以解决。

再判断是否可以整除就好了

三.代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	long long mod[600001]={0};
	int i,n;
	while(cin>>n&&n!=0)
	{
		for(i=1;;i++)
		{
			mod[i]=mod[i/2]*10+i%2;
			if(mod[i]%n==0)
			{
				cout<<mod[i]<<endl;
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}
四.感想

提交时总是WA,后来知道是数组定小了。

而且我读题比较费时。。。。

这是一个较为复杂的组合数学与数论问题。我们需要处理多个测试用例,每个测试用例中我们对一个数组的所有长度为 $k$ 的子序列计算其最小公倍数(LCM)的质因数,并对这些结果求。 --- ## **思路概述** 1. **质因数分解**:对于每个 $a_i$,我们需要出其所有不同的质因数,因为 $f(x)$ 是这些质因数的。 2. **质数贡献统计**:由于我们要对所有子序列的 LCM 取 $f(\text{LCM})$,我们可以按质数来统计它们的贡献。例如,质数 $p$ 如果在至少一个子序列的 LCM 中出现,那么它将对 $f(\text{LCM})$ 贡献 $p$。 3. **容斥原理 + 组合计数**:我们可以统计有多少个长度为 $k$ 的子序列中至少包含一个数是 $p$ 的倍数,然后减去不包含 $p$ 的子序列数,从而得到包含 $p$ 的子序列数。 4. **预处理组合数**:为了快速计算组合数 $C(n, k)$,我们需要预处理阶乘逆阶乘。 5. **模运算**:所有运算对 $998244353$ 取模。 --- ## **代码实现** ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD = 998244353; const int MAXN = 3e5 + 5; // 预处理阶乘逆阶乘 ll fact[MAXN], inv_fact[MAXN]; ll mod_pow(ll a, ll b, ll mod) { ll res = 1; while (b) { if (b & 1) res = res * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1; } return res; } void precompute(int max_n) { fact[0] = 1; for (int i = 1; i <= max_n; ++i) fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD; inv_fact[max_n] = mod_pow(fact[max_n], MOD - 2, MOD); for (int i = max_n - 1; i >= 0; --i) inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % MOD; } ll comb(int n, int k) { if (k < 0 || k > n) return 0; return fact[n] * inv_fact[k] % MOD * inv_fact[n - k] % MOD; } // 筛法求质数 vector<int> primes; bool is_prime[MAXN]; void sieve(int max_n) { fill(is_prime, is_prime + max_n + 1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i <= max_n; ++i) { if (is_prime[i]) { primes.push_back(i); for (int j = i * 2; j <= max_n; j += i) is_prime[j] = false; } } } // 分解一个数的所有不同质因数 vector<int> get_unique_primes(int x) { vector<int> res; for (int p : primes) { if (p * p > x) break; if (x % p == 0) { res.push_back(p); while (x % p == 0) x /= p; } } if (x > 1) res.push_back(x); return res; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int max_a = 3e5 + 5; sieve(max_a); precompute(3e5 + 5); int t; cin >> t; while (t--) { int n, k; cin >> n >> k; vector<int> a(n); for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i]; // 统计每个质数在数组中出现的次数 map<int, int> prime_count; for (int x : a) { auto primes_x = get_unique_primes(x); for (int p : primes_x) prime_count[p]++; } ll ans = 0; for (auto &[p, cnt] : prime_count) { // 有多少个长度为k的子序列包含至少一个p的倍数 // 总共 C(n, k) - C(n - cnt, k) ll total = (comb(n, k) - comb(n - cnt, k) + MOD) % MOD; ans = (ans + total * p) % MOD; } cout << ans << "\n"; } return 0; } ``` --- ## **代码解释** 1. **筛法求质数**:我们使用埃拉托斯特尼筛法预处理所有可能的质数(最多到 $3 \times 10^5$)。 2. **质因数分解函数 `get_unique_primes`**:这个函数返回某个数的所有不同质因数。 3. **统计每个质数出现的次数**:我们遍历数组中的每个数,分解出它的质因数,并统计每个质数出现的次数。 4. **计算每个质数的贡献**: - 对于每个质数 $p$,如果它在数组中出现了 `cnt` 次,则我们可以从这些数中选出至少一个组成长度为 $k$ 的子序列。 - 所有不包含 $p$ 的子序列数量是 `C(n - cnt, k)`。 - 所以包含 $p$ 的子序列数量是 `C(n, k) - C(n - cnt, k)`。 - 每个这样的子序列会贡献一个 $p$,所以总贡献是 `p * (C(n, k) - C(n - cnt, k))`。 5. **组合数预处理**:我们预处理阶乘逆阶乘,以便快速计算组合数。 6. **取模处理**:所有运算都对 $998244353$ 取模。 --- ## **时间复杂度分析** - 预处理筛法:$O(n \log \log n)$ - 预处理阶乘:$O(n)$ - 每个测试用例: - 分解质因数:$O(\sqrt{a_i})$ - 统计质数次数:$O(n \log a_i)$ - 计算每个质数贡献:$O(\pi(a_i))$ 总体复杂度是可接受的,适用于 $n \leq 3 \times 10^5$ 的数据范围。 --- ###
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