HDU 1757 简单的矩阵快速幂

最新推荐文章于 2017-10-15 20:25:57 发布

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#矩阵快速幂

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推数列问题的方法。通过构建特定矩阵并运用快速幂运算，可以高效地计算出给定递推公式中任意项的值，并通过模运算处理大数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1757

A Simple Math Problem

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 4888 Accepted Submission(s): 2941

Problem Description

Lele now is thinking about a simple function f(x).

If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);
And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 .

Now, I will give a0 ~ a9 and two positive integers k and m ,and could you help Lele to caculate f(k)%m.

Input

The problem contains mutiple test cases.Please process to the end of file.
In each case, there will be two lines.
In the first line , there are two positive integers k and m. ( k<2*10^9 , m < 10^5 )
In the second line , there are ten integers represent a0 ~ a9.

Output

For each case, output f(k) % m in one line.

Sample Input

10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Sample Output

45
104

很基础的矩阵快速幂。

矩阵乘法不会的自己百度吧

只需要知道初始矩阵和 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);这个方程转化成的系数矩阵，

第9项矩阵 *系数矩阵 =第10项矩阵（矩阵的第0行第0列表示 f（10））

f9 f8 f7 f6 f5 f4 f3 f2 f1 f0 a0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 f10 f9 f8 f7 f6 f5 f4 f3 f2 f1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 乘以 a5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 等于 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

其中 f10 =a0*f9+a1*f8+a2*f7+......+a9*f0;

同理用第10项矩阵乘以系数矩阵就能得到第11项。

有第9项矩阵，让求第k项，所以成以系数矩阵（k-9）次，就可以第k项。因为k很大，所以用快速幂。

所以叫做矩阵快速幂0.0。

奉上我的AC代码：

#include <iostream>
#include <queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 50000
#define LL long long
using namespace std;
int m;
struct node
{
    LL a[15][15];
}a,ans;//a是方程转化成的系数矩阵，ans是初始矩阵。
node operator * (node b,node c)//自定义矩阵乘法
{
    node d;
    memset(d.a,0,sizeof(d.a));
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
        {
            for(int k=0;k<10;k++)
                d.a[i][j]+=b.a[i][k]*c.a[k][j];
                d.a[i][j]%=(LL)m;
        }
     return d;
}
void init()//矩阵初始化
{
    memset(a.a,0,sizeof(a.a));
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        ans.a[0][i]=9LL-(LL)i;
        scanf("%I64d",&a.a[i][0]);
        a.a[i][i+1]=1LL;（1LL表示LL型的1）
    }
}
int main()
{
    int k;
    while(~scanf("%d%d",&k,&m))
    {
        init();
        if(k<10)
        {
            printf("%d\n",k%m);
            continue;
        }
        k-=9;
        while(k)
        {
            if(k%2)
                ans= ans*a;
            a= a*a;
            k=k>>1;
        }
        printf("%I64d\n",ans.a[0][0]);
    }
}