BZOJ2671: Calc 莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

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分类专栏：莫比乌斯反演 xgc的做题记录文章标签：莫比乌斯反演

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莫比乌斯反演

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本文探讨了在给定整数N的情况下，如何统计满足特定条件的数对(a,b)的个数，其中条件包括a<b≤N且a+b能整除a*b。通过数学推导，将问题转化为统计满足特定条件的三元组(x,y,d)的数量，并使用莫比乌斯反演简化计算过程。最终提供了一个O(log(√N)*N^(3/4))时间复杂度的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
给出 $N$ ，统计满足下面条件的数对 $(a, b)$ 的个数：
$1.1 < = a < b < = N$
$2 . a + b 整除 a * b$

Sample Input
15

Sample Output
4

式子什么的先化一下：
设 $d = g c d (a, b)$ ， $x d = a, y d = b$ ，则
$d(x+y)|d^2xy$
$(x + y) ∣ d x y$
又因为 $g c d (x + y, x y) = 1$ ，则
$(x + y) ∣ d$
然后就是统计对于一个三元组 $(x, y, d)$ 满足 $g c d (x, y) = 1$ 且 $x d < = n, y d < = n$
设 $y > x$ ，则可知对于一对二元组 $(x, y)$ ，贡献为 $⌊ny(x+y)⌋\lfloor \frac n{y(x+y)}\rfloor$ 。
式子就是：
$ans=∑x=1n∑y=x+1n⌊ny(x+y)⌋[gcd(x,y)==1]ans=\sum_{x=1}^{\sqrt n}\sum_{y=x+1}^{\sqrt n}\lfloor \frac n{y(x+y)}\rfloor[gcd(x,y)==1]$
莫反一下：
$ans=∑x=1n∑y=x+1n⌊ny(x+y)⌋∑d∣x,d∣yμ(d)ans=\sum_{x=1}^{\sqrt n}\sum_{y=x+1}^{\sqrt n}\lfloor \frac n{y(x+y)}\rfloor\sum_{d|x,d|y}\mu(d)$
$= >$
$ans=∑d=1nμ(d)∑x=1nd∑y=x+1nd⌊ny(x+y)⌋ans=\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{x=1}^{\frac {\sqrt n}d}\sum_{y=x+1}^{\frac {\sqrt n}d}\lfloor \frac n{y(x+y)}\rfloor$
$= >$
$ans=∑d=1nμ(d)∑y=1nd∑x=1y−1⌊ny(x+y)⌋ans=\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{y=1}^{\frac {\sqrt n}d}\sum_{x=1}^{y-1}\lfloor \frac n{y(x+y)}\rfloor$
然后你对前面这个 $d$ 暴力枚举，后面的这个 $y$ 也暴力枚举，然后后面这个 $x$ 权值分块就好了。
时间复杂度好像是 $n)*n^{\frac 34})$

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long LL;
LL _min(LL x, LL y) {return x < y ? x : y;}
const int N = 50001;
int read() {
	int s = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return s * f;
}
void put(LL x) {
	if(x >= 10) put(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

LL ans;
int n, plen, p[N], mu[N];
bool v[N];

void get_p() {
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < N; i++) {
		if(!v[i]) p[++plen] = i, mu[i] = -1;
		for(int j = 1; j <= plen && (LL)i * p[j] < N; j++) {
			v[i * p[j]] = 1;
			if(i % p[j] == 0) {mu[i * p[j]] = 0; break;}
			else mu[i * p[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

LL query(int x, int m) {
	LL sum = 0;
	LL cc = n / x / x;
	for(int i = 1; i <= m / x; i++) {
		LL g = cc / i;
		for(int l = 1, r; l < i; l = r + 1) {
			if(l + i > g) break;
			r = _min(i - 1, g / (g / (l + i)) - i);
			sum += (LL)g / (l + i) * (r - l + 1);
		}
	} return sum;
}

int main() {
	n = read();
	get_p(); int m = sqrt(n);
	for(int i = 1; i <= m; i++) if(mu[i]){
		ans += query(i, m) * mu[i];
	} put(ans);
	return 0;
}