[SDOI2013]随机数生成器 BSGS

最新推荐文章于 2019-11-23 11:19:10 发布

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本文详细解析了NOI2012随机数据生成器问题，通过等比公式推导，介绍了如何求解特定数值在序列中的位置，特别关注于BSGS算法的应用，针对特殊情况如a=0,a=1进行特判。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
你还记得[NOI2012]随机数据生成器这道题吗。
这道题呢，就是让你求他生成出来的这个数C是第几项。

Sample Input
3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1

Sample Output
1
3
-1

这道题真可谓是全新版本，推一下式子即可。
$f[n]=a^{n-1}*X1+b*(a^0+a^1+...+a^{n-2})$
等比公式搞一下。
$f[n]=a^{n-1}*X1+b*(a^{n-1}-1)/(a-1)$
和一下
$f[n]=a^{n-1}*X1*(a-1)/(a-1)+b*(a^{n-1}-1)/(a-1)$
$f[n]=(a^{n-1}*X1*(a-1)+(b*a^{n-1}))/(a-1)-b/(a-1)$
移过去
$f[n]*(a-1)+b=a^{n-1}*(X1*(a-1)+b)$
然后解BSGS即可，
有几种特殊情况，比如a=0,a=1，特判一下。
其他没什么好说的。。。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL Mod = 1000007;

LL mod, cnt;
LL head[1100000], next[1100000], num[1100000];

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
	if(b == 0) {x = 1, y = 0; return a;}
	else {
		LL tx, ty, d = exgcd(b, a % b, tx, ty);
		x = ty, y = tx - ty * (a / b);
		return d;
	}
}

LL pow_mod(LL a, LL k) {
	LL ans = 1; a %= mod;
	while(k) {
		if(k & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod; k /= 2;
	} return ans;
}

LL BSGS(LL a, LL b) {
	LL t = sqrt(mod) + 1, u = 1;
	for(int i = 1; i <= t; i++) {
		num[i] = u * b % mod;
		LL y = num[i] % Mod;
		if(!head[y]) head[y] = i;
		else {
			int o = head[y];
			bool bk = 0;
			while(next[o]) {
				if(num[i] == num[o]) {bk = 1; break;}
				o = next[o];
			} if(!bk) next[o] = i;
		} u = u * a % mod;
	} a = u; u = 1;
	if(a == 0) {
		if(b == 0) return 1;
		return -2;
	}
	for(int i = 0; i < t; i++) {
		LL y = u % Mod;
		int o = head[y];
		while(num[o] != u && o) o = next[o];
		if(num[o] == u) {
			int j = o - 1;
			if(i * t - j >= 0) return i * t - j;
		} u = u * a % mod;
	} return -2;
}

int main() {
	int tt; scanf("%d", &tt);
	while(tt--) {
		LL a, b, X1, c;
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &mod, &a, &b, &X1, &c);
		if(c == X1) {printf("1\n"); continue;}
		if(a == 0) {
			if(b != c) printf("-1\n");
			else printf("2\n");
			continue;
		}
		if(a == 1) {
			c = ((c - X1) % mod + mod) % mod;
			LL x, y, d = exgcd(b, mod, x, y);
			if(c % d != 0) {printf("-1\n"); continue;}
			x = (x * (c / d) % (mod / d) + (mod / d)) % (mod / d);
			printf("%lld\n", x + 1);
			continue;
		}
		c = c * (a - 1) % mod;
		c = (c + b) % mod;
		c = c * pow_mod((X1 * (a - 1) % mod + b), mod - 2) % mod;
		memset(next, 0, sizeof(next));
		memset(head, 0, sizeof(head));
		memset(num, 0, sizeof(num));
		printf("%lld\n", BSGS(a, c) + 1);
	}
	return 0;
}