数据结构_平衡二叉搜索树(AVL树)

平衡二叉搜索树

在二叉搜索树中，已经知道search、insert和remove等主要接口的运行时间均正比于树的高度。但是在最坏的情况下，二叉搜索树可能退化成列表，此时查找的效率会降至O(n)。因此，通常通过控制树高，来控制最坏情况下的时间复杂度。
对于节点数目固定的BST，越是平衡，最坏情况下的查找速度越快，如下图所示：

为了理解平衡二叉树，我们首先要理解几个主要概念，理想平衡与适度平衡以及如何进行等价变换让树更为平衡。

• 理想平衡与适度平衡
  节点数目固定时，兄弟子树高度越接近（平衡），全树的高度也将倾向于更低。包含n个节点的二叉树，高度不可能小于log2(n)（向上取整），当树的高度刚好为log2(n)时，称作理想二叉树。例如完全二叉树和满二叉树。
  
  但是大多数情况下，树不能满足完全二叉树的条件，因此要放宽平衡的标准。在渐进意义下，放松标准后的平衡性称为适度平衡（渐进的不超过O(logn)）。 我们称可以保持适度平衡的BST称为平衡二叉树（BBST），例如AVL树、红黑树等。

• 等价变换
  若两颗二叉搜索树的中序遍历序列是相同，则称他们是相互等价的，反之亦然。例如：
  
  总结出来，等价BST的特性即是：
  上下可变：联系关系不尽相同，承袭关系可能颠倒。左右不乱：中序遍历完全一致。

• 旋转调整
  实际上任何一组等价BST的相互转换，都可以认为是一系列的基本操作串接而成的。最基本的修复手段就是通过围绕节点的旋转，实现等价前提下的的局部拓扑调整。
  1、zig：顺时针旋转
  
  2、zag：逆时针旋转
  
  平衡二叉搜索树的适度平衡性，都是通过对树中每一局部增加某种限制条件来保证的。例如：AVL树中，兄弟节点高度相差不过1。除了适度平衡性，还有以下局部性：
  1、经过单次动态修改操作之后，至多只有O(log(n))处局部不在满足限制条件。
  2、在O(log(n))时间内，使这O(log(n))处局部（以至全树）重新满足限制条件。
  意味着，刚刚失去平衡的二叉搜索树，可以通过（一系列zig或zag，只在局部操作可以在常数时间内完成）变换，转换成一颗等价的平衡二叉搜索树。

  AVL——BBST

首先给出所用的一些宏定义

 #define Balanced(x) ( stature( (x).lc ) == stature( (x).rc ) ) //理想平衡条件
 #define BalFac(x) ( stature( (x).lc ) - stature( (x).rc ) ) //平衡因子
 #define AvlBalanced(x) ( ( -2 < BalFac(x) ) && ( BalFac(x) < 2 ) ) //AVL平衡条件
 #define stature(p)((p)?(p)->height:-1)

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  * 在左、右孩子中取更高者
  * 在AVL平衡调整前，借此确定重构方案
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