bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

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次小生成树

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本文介绍了一种求解次小生成树问题的算法实现，通过维护树上严格次大值来快速找到次小生成树。该算法首先利用并查集进行边的排序和最小生成树的构建，然后通过深度优先搜索预处理LCA（最近公共祖先）和次大边权，最终遍历所有边来更新次小生成树的权值。

在普通次小生成树的基础上再维护一个树上严格次大值即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<bitset>

using namespace std;
typedef long long LL;

int n,m;
int fa[110000];
int find(int x)
{
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int Union(int x,int y)
{
    int fx=find(x),fy=find(y);
    if (fx!=fy) fa[fx]=fy;
    else return 0;
    return 1;
}
struct node
{
    int x,y,z,use;
}a[610000];
int cmp(node a,node b)
{
    return a.z<b.z;
}
int e[210000],pre[210000],last[210000],w[210000],dep[210000],num;
LL now;
int mx[210000][20],f[210000][20],m2[210000][20];
int lca(int x,int y)
{
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int tmp=dep[x]-dep[y];
    for (int i=17;i--;)
        if (tmp>>i&1)
            x=f[x][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=17;i--;)
        if (f[x][i]!=f[y][i])
            x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}
void dfs(int x,int y,int depth,int z)
{
    dep[x]=depth;
    f[x][0]=y;
    mx[x][0]=z;
    m2[x][0]=0;
    for (int i=1;i<=17;i++)
    {
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1],mx[x][i]=max(mx[x][i-1],mx[f[x][i-1]][i-1]);
        if (mx[x][i-1]<mx[f[x][i-1]][i-1])
        {
            if (m2[f[x][i-1]][i-1]>mx[x][i-1]) m2[x][i]=m2[f[x][i-1]][i-1];
            else m2[x][i]=mx[x][i-1];
        }
        else if (mx[x][i-1]>mx[f[x][i-1]][i-1])
        {
            if (m2[x][i-1]>mx[f[x][i-1]][i-1]) m2[x][i]=m2[x][i-1];
            else m2[x][i]=mx[f[x][i-1]][i-1];
        }
        else
        {
            if (m2[x][i-1]>m2[f[x][i-1]][i-1]) m2[x][i]=m2[x][i-1];
            else m2[x][i]=m2[f[x][i-1]][i-1];
        }
    }

    for (int i=last[x];i;i=pre[i])
        if (e[i]!=y) dfs(e[i],x,depth+1,w[i]);
}
LL ans=1e18;
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
        a[i]={x,y,z,0};
    }
    sort(a+1,a+1+m,cmp);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=a[i].x,y=a[i].y,z=a[i].z;
        if (find(x)!=find(y))
        {
            now+=(LL)z;
            fa[find(x)]=find(y);
            e[++num]=y,pre[num]=last[x],last[x]=num,w[num]=z;
            e[++num]=x,pre[num]=last[y],last[y]=num,w[num]=z;
            a[i].use=1;
        }
    }
    dfs(1,0,0,0);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        if (a[i].use) continue;
        int x=a[i].x,y=a[i].y,z=a[i].z;
        int d=lca(x,y);
        int dx=dep[x]-dep[d],dy=dep[y]-dep[d];
        int mm=0,nn=x;
        for (int j=0;j<=17;j++,dx>>=1)
            if (dx&1) 
            {
                if (mm<mx[x][j]&&mx[x][j]!=z) mm=mx[x][j];
                if (mm<m2[x][j]&&m2[x][j]!=z) mm=m2[x][j];
                x=f[x][j];
            }
        nn=y;
        for (int j=0;j<=17;j++,dy>>=1)
            if (dy&1) 
            {
                if (mm<mx[y][j]&&mx[y][j]!=z) mm=mx[y][j];
                if (mm<m2[y][j]&&m2[y][j]!=z) mm=m2[y][j];
                y=f[y][j];
            }
        ans=min(ans,now-(LL)mm+(LL)z);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}