bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree (lca+倍增)

最新推荐文章于 2022-01-26 21:09:28 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-26 21:09:28 发布 · 577 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#最小生成树 #次小生成树 #lca #倍增 #题解

题解同时被 3 个专栏收录

150 篇文章

订阅专栏

最小生成树

2 篇文章

订阅专栏

倍增

2 篇文章

订阅专栏

本文解析了求解次小生成树的问题，并提供了一种基于倍增法的解决方案。通过预处理最大值和次大值，高效求解无向图中严格次小生成树的边权和。

bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1977

题意：
小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是 E $_M$ ，严格次小生成树选择的边集是 E $_S$ ，那么需要满足：这里写图片描述
(value(e) 表示边 e的权值)
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

Sample Output
11

数据范围
给出的图为无向图且无自环
N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

题解：
（刚发现NOIP考纲上有次小生成树，赶紧来刷掉这道水题）

倍增存向上2^p步内的最大值和严格次大值，及2^p步后跳到的点。

造好最小生成树后枚举不在最小生成树上的边 i，查询在最小生成树上 ui，vi这两个点的路径上不等于 wi 的最大值mx，就在跳祖先求lca时一段一段地更新这个mx。
最后可以求得一个最小增量 mn=min（wi-mxi）

求得次小生成树上的权值和=最小生成树上权值和 + 最小增量

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=100005;
const int M=300005;
const int P=18;
const int inf=0x3f3f3f3f;
vector<int> V;
int n,m,fa[N],head[N],to[2*N],nxt[2*N],dep[N],anc[N][P+1],num=0;
LL w[2*N],val[N][P+1][2],mn;
struct edge
{
    int u,v;
    LL w;
}E[M];
bool cmp(const edge &A,const edge &B)
{
    return A.w<B.w;
}
int getfa(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    else return fa[x]=getfa(fa[x]);
}
void build(int u,int v,LL ww)
{
    num++;
    to[num]=v;
    nxt[num]=head[u];
    w[num]=ww;
    head[u]=num;
}
void dfs(int u,int f,LL ww)
{
    anc[u][0]=f;
    val[u][0][0]=ww;
    val[u][0][1]=-inf;
    for(int i=1;i<P;i++)
    {
        anc[u][i]=anc[anc[u][i-1]][i-1];
        val[u][i][0]=max(val[u][i-1][0],val[anc[u][i-1]][i-1][0]);
        if(val[u][i-1][0]!=val[anc[u][i-1]][i-1][0])
        val[u][i][1]=min(val[u][i-1][0],val[anc[u][i-1]][i-1][0]);
        else
        val[u][i][1]=max(val[u][i-1][1],val[anc[u][i-1]][i-1][1]);
    }
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==f) continue;
        dep[v]=dep[u]+1;
        dfs(v,u,w[i]);
    }   
}
void query(int u,int v,LL ww)
{
    LL mx=-inf;
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    int d=dep[u]-dep[v];
    for(int i=0;d;d>>=1,i++)
    {
        if(d&1) 
        {
            u=anc[u][i];
            LL vv=(val[u][i][0]==ww)? val[u][i][1]:val[u][i][0];
            mx=max(mx,vv);
        }
    }
    for(int i=P-1;i>=0;i--)
    {
        if(anc[u][i]!=anc[v][i])
        {
            LL vv=(val[u][i][0]==ww)? val[u][i][1]:val[u][i][0];
            mx=max(mx,vv);
            vv=(val[v][i][0]==ww)? val[v][i][1]:val[v][i][0];
            mx=max(mx,vv);
            u=anc[u][i]; v=anc[v][i];
        }
    }
    if(val[u][0][0]!=ww) mx=max(mx,val[u][0][0]);
    if(val[v][0][0]!=ww) mx=max(mx,val[v][0][0]);
    mn=min(mn,ww-mx);
}
int main()
{
    memset(head,0,sizeof(head)); num=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    scanf("%d%d%lld",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
    sort(E+1,E+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    int cnt=0;
    LL sum=0;

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=E[i].u; int v=E[i].v;
        int fx=getfa(u); int fy=getfa(v);
        if(fx==fy) V.push_back(i);
        else 
        {
            fa[fx]=fy; sum+=E[i].w;
            build(u,v,E[i].w); build(v,u,E[i].w);
        }
    }
    dep[1]=0;
    dfs(1,0,0);
    int sz=V.size();
    mn=inf;
    for(int i=0;i<sz;i++)
    {
        int u=E[V[i]].u; int v=E[V[i]].v; LL ww=E[V[i]].w;     
        query(u,v,ww);
    }
    printf("%lld\n",sum+mn);

    return 0;
}

//我今天很开心(ﾉ≧∀≦)ﾉ