模线性方程组-非互质中国剩余定理 HDU3579 HDU1573

该专题必备知识：解模线性方程 ,扩展欧几里德定律，中国剩余定理。
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问题描述：给出bi，ni的值，且n1, n2, n3,…, ni两两之间不一定互质，求Res的值？ 

解：采用的是合并方程的做法。  
这里将以合并第一第二个方程为例进行说明 
由上图前2个方程得(设k1、k2为某一整数)：  
 
 


例题： hdu 1573 X问题 【下面已给出代码】 
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573 
另外推荐一题： hdu 3579 Hello Kiki： 

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3579 

#include <iostream>
using namespace std;
#define LL __int64
#define M 10
int N;

LL Egcd (LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	LL d, tp;
	d = Egcd (b, a%b, x, y);
	tp = x;
	x = y;
	y = tp - a/b*y;
	return d;
}

LL CRT2 (LL b[], LL n[], int num)
{
	int i;
	bool flag = false;
	LL n1 = n[0], n2, b1 = b[0], b2, bb, d, t, k, x, y;
	for (i = 1; i < num; i++)
	{
		n2 = n[i], b2 = b[i];
		bb = b2 - b1;
		d = Egcd (n1, n2, x, y);
		if (bb % d)		//模线性解k1时发现无解
		{
			flag = true;
			break;
		}
		k = bb / d * x;    //相当于求上面所说的k1【模线性方程】
		t = n2 / d;
		if (t < 0) t = -t;
		k = (k % t + t) % t;	//相当于求上面的K`
		b1 = b1 + n1*k;
		n1 = n1 / d * n2;
	}
	if (flag)
		return 0;			//无解
/******************求正整数解******************/
	if (b1 == 0)	//如果解为0，而题目要正整数解，显然不行
		b1 = n1;	//n1刚好为所有ni的最小公倍数，就是解了
/******************求正整数解******************/
	if (b1 > N)
		return 0;
	return (N-b1)/n1+1;    //形成的解：b1, b1+n1, b1+2n1,..., b1+xni...
}

int main()
{
	int t, num, i, cc = 1;
	LL b[M], n[M];
	scanf ("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf ("%d%d", &N, &num);
		for (i = 0; i < num; i++)
			scanf ("%I64d", n+i);
		for (i = 0; i < num; i++)
			scanf ("%I64d", b+i);
		printf ("%I64d\n", CRT2 (b, n, num));
	}
	return 0;
}

增加一下HDU3579的代码。

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll a[100],b[100];
ll n,N,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return d;
}
ll CRT(ll a[],ll b[],ll n){
    ll b1=b[0],n1=a[0];
    int flag=0;
    ll k,bb,k1,t,d,b2,n2;
    for(int i=1;i<n;i++){
        b2=b[i];
        n2=a[i];
        d=exgcd(n1,n2,x,y);
        bb=b2-b1;
        if(bb%d){
            flag=1;
            break;
        }
        k=bb/d*x;
        t=n2/d;
        if(t<0)t=-t;
        k=(k%t+t)%t;
        b1=b1+n1*k;
        n1=n1*t;
    }
    if(flag)return -1;
    if(b1==0)b1=n1;//因为b1如果为0则说明，最小的情况就是只有一组大小为n的硬币。
    return b1;
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    int n1=1;
    while(t--){
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>b[i];
        cout<<"Case "<<n1++<<": "<<CRT(a,b,n)<<endl;
    }
}