Tarjan 学习笔记 - LCA

常用的求 LCA 的算法有：$Tarjan$ / $DFS + ST$ / 倍增

后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在 $O(log n)$ ~ $O(n log n)$ 之间。
$Tarjan$ 是 离线 算法。顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是 $O(n + q)$。

---

利用了 $dfs$ 和并查集的思想，祖先回溯记录为上一个，如果已经某一点遍历过了就 $find()$ 祖先。

一开始我们输入的是一张图，没有任何父亲儿子的关系。

流程：

1. 任选一个点为根节点，从根节点开始。
2. 遍历该点 $u$ 所有子节点 $v$，并标记这些子节点 $v$ 已被访问过。
3. 若是 $v$ 还有子节点，返回 2，否则下一步。
4. 合并 $v$ 到 $u$ 上。
5. 寻找与当前点 $v$（当前点即是需要合并的点） 有询问关系的点 $x$。
6. 若是这个点 $x$ 已经被访问过了，则可以确认 $v$ 和 $x$ 的最近公共祖先为 $x$ 被合并到的父亲节点 $a$。

注意只有把一个点的所有子节点都访问完毕以后再寻找与当前点有询问关系的点。

---

Luogu P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

$Tarjan$ 求 $LCA$ 是个离线算法。
那个 $e1[].num$ 记录访问的次序。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;

int cnt = 0, cnt1 = 0;
int vis[N], father[N];
int head[N], head1[N];
int ans[N];

struct Edge {
    int to, next, num;
}e[N << 1], e1[N << 1];

void add(int x, int y) {
    e[++ cnt].to = y;
    e[cnt].next = head[x];
    head[x] = cnt;
}

void add1(int x, int y, int z) {
    e1[++ cnt1].to = y;
    e1[cnt1].next = head1[x];
    e1[cnt1].num = z;
    head1[x] = cnt1;
}

void make(int n) {
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        father[i] = i;
}

int find(int x) {
    if(x != father[x]) return father[x] = find(father[x]);
    return x; 
}

void dfs(int u) {
    vis[u] = 1;
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to;
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
        int root1 = find(u), root2 = find(v);
        if(root1 != root2) father[v] = u;
    }
    for(int i = head1[u]; i; i = e1[i].next) {
        int v = e1[i].to;
        if(vis[v]) ans[e1[i].num] = find(e1[i].to);
    }
}

int main() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(head, 0, sizeof(head));
    memset(head1, 0, sizeof(head1));
    int n, m, s;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    make(n);
    for(int i = 1; i <= n - 1; i ++) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y), add(y, x);
    }
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add1(x, y, i), add1(y, x, i);
    }
    dfs(s);
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
        printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}