[解题报告]最强DE战斗力-第五届程序设计大赛（数论）

最新推荐文章于 2022-01-25 21:21:42 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-25 21:21:42 发布 · 590 阅读

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探讨了将一个整数拆分成若干个整数之和时，如何使得这些整数的乘积最大。通过分析得出结论，即尽可能多地使用3进行拆分可以获得最大乘积，并给出了Java和C++实现代码。

题目大意：若干个输入案例，每次输入一个数字(1<=n<=1000)，输出这个数字能拆分成的数字的积的最大值

比如5，拆分为2,3时积最大，为6。

思路：原谅我大脑简单上来想的居然是深搜，后来写了一串数发现结果总是这个数前一两个数的结果*2的样子，然后我还是写的深搜。。用一堆数组存结果，输入n后，从n/2开始搜，如果n/2有结果，就从这之后开始比较，取最大值，否则搜n/2的结果。后来我发现这样求出来会出错，有时没答案，后来看讨论区写，尽可能多的用3乘，于是修改代码，只从n-3开始搜，用的int存的发现n=几十的时候就开始溢出了，就改成用java的BigInteger了，结果是正确的，后来搜出来了“尽量多用3乘”的原理，贴上。

N = a₁+ a₂+ a₃+ a₄+ … + a_n

_{ans= max ( a₁*
a₂*a₃*
a₄* … * a_{n
)}}

由对称原理当a_1、a_2、a_3、a_4、 … a_{n相等时，ans最大。这时：}

_{N =a*n}

_{ans = aⁿ}

由上可得 ans = a^(N/a)

^{转化为求 f(a) = a^{^(N/a)}}的最大值，有图像：

发现n = 3时函数值最大。

（俺画不出这个函数。。记一下这个结论）

java代码：（代码写的比较渣，也挺耗时）

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {

	static BigInteger[]a = new BigInteger[1001];
	
	public static void main(String[] args) {
		a[1] = BigInteger.ONE;
		a[2] = new BigInteger("2");
		a[3] = new BigInteger("3");
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int cases = sc.nextInt();
		int n;
		while(cases--!=0){
			n = sc.nextInt();
			if(a[n]!=null) System.out.println(a[n]);
			else{
				dfs(n);
				System.out.println(a[n]);
			}
		}
	}
	public static void dfs(int n){
		if(a[n-3]==null) dfs(n-3);
		a[n] = a[n-3].multiply(new BigInteger("3"));
		if(a[n-2]==null) dfs(n-2);
		a[n] = (a[n].compareTo(a[n-2].multiply(new BigInteger("2")))>0?a[n]:a[n-2].multiply(new BigInteger("2")));
	}
}

网上找了一个c++版，拷贝一下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int s[205];
int multiply(int x){
    int i,t;
    for(t=i=0;i<200;i++,t/=10){
        t=s[i]*x+t;
        s[i]=t%10;    
    }
}
int main()
{
    int N,i,n,a;
    scanf("%d",&N);
    while(N--){
        memset(s,0,sizeof(s));
        s[0]=1;
        scanf("%d",&a);
        n=a/3;
        if(a%3==1) n--;
        for(i=0;i<n;i++)
            multiply(3);
        if(a%3==1) multiply(4);
        else if(a%3==2) multiply(2);
        for(i=200;i>=0;i--)
            if(s[i]) break;
        for(;i>0;i--)
            printf("%d",s[i]);
        printf("%d\n",s[0]);
    }
    return 0;
}