金融分析与风险管理——投资组合收益率、波动率计算

1 投资组合的预期收益率

假设由N只股票构成一个投资组合，各只股票的预期收益率分别为$E(R_i)$，则投资组合的预期收益率计算如下：

$$\begin{gathered} E(R_p)=\sum w_{i}E(R_i)=[w_1,w_2,...,w_N][E(R_1),E(R_2),...,E(R_N){]}^T \\ 且满足：\sum w_i=1 \end{gathered}$$

简单收益率计算

$$r_t=\frac{P_t+D_t}{P_{t-1}}-1$$

复利收益率计算

由简单收益率计算复利收益率的公式如下：

$$R_c={(1+r_1)(1+r_2)....(1+r_t)}^{\frac{1}{t}T}-1$$

其中，t是持有期，T是需计算的复利期。

连续收益率计算

$$R_t=ln(\frac{P_t+D_t}{P_{t-1}})$$

通常情况下，年化收益率可通过日收益或者月收益率计算得到，其计算公式如下：

$$\begin{gathered} R_{year}=r_{day}\ast 252 \\ {R}_{year}=r_{month}\ast 12 \\ or \\ {R}_{year}=R_{day}\ast 252 \\ {R}_{year}=R_{month}\ast 12 \end{gathered}$$

在股票的日收益计算中，我们通常使用连续收益率（对数收益率）进行计算，因为该收益率考虑了连续的时间价值。

2 投资组合的波动率

在计算投资组合的波动率之前，通常需要先计算每只股票收益率之间的协方差与相关系数，以两只股票为例进行说明：

$$\begin{gathered} {\sigma }_p^2=(w_1{\sigma }_1{)}^2+(w_2{\sigma }_2{)}^2+2w_1{w}_{2}Cov(R_1,R_2) \\ =(w_1{\sigma }_1{)}^2+(w_2{\sigma }_2{)}^2+2w_1{w}_2{\rho }_{12}{\sigma }_1{\sigma }_2 \\ 两边开根号： \\ {\sigma }_p=\sqrt{(w_1{\sigma }_1{)}^2+(w_2{\sigma }_2{)}^2+2w_1{w}_{2}Cov(R_1,R_2)} \\ =\sqrt{(w_1{\sigma }_1{)}^2+(w_2{\sigma }_2{)}^2+2w_1{w}_2{\rho }_{12}{\sigma }_1{\sigma }_2} \\ 其中：{\rho }_{12}=\frac{Cov(R_1,R_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2} \end{gathered}$$

由N只股票构成的投资组合，其收益率方差计算表达式如下：

$$\begin{gathered} {\sigma }_p^2=\sum \sum w_i{w}_{j}Cov(R_i,R_j)=\sum \sum w_i{w}_j{\rho }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j=W\sum W^T \\ \sum =\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& \cdots & {\sigma }_{1n}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_2^2& \cdots & {\sigma }_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{N1}& {\sigma }_{N2}& \cdots & {\sigma }_N^2\end{array}\right] \end{gathered}$$

波动率（标准方差）近似遵循平方根法则，可以通过日收益波动率进行计算，公式如下：

$$\begin{gathered} {\sigma }_{month}=\sqrt{22}{\sigma }_{day} \\ {\sigma }_{year}=\sqrt{252}{\sigma }_{day} \end{gathered}$$

本文通过一个案例来说明如何计算投资组合的年化收益率、年化波动率，该投资组合有 5 个不同的资产构成，投资组的权重配比如下表：

资产名称	上海机场	宝钢股份	海通证券	工商银行	中国石油
权重	0.15	0.2	0.5	0.05	0.1

案例中投资组合完整的数据可以通过百度网盘获取，提取码：tday。

案例中的日收益率使用对数收益率进行计算，Python程序如下：

data = pd.read_excel(r'C:\Users\Administrator\Desktop\构建投资组合的五只股票数据.xlsx',header = 0,index_col = 0)

#归一化处理并画收盘价的走势图
(data/data.iloc[0]).plot(figsize=(8,6))
plt.legend()
plt.grid('True')

# 对数收益率走势图
R = np.log(data/data.shift(1)) #计算日对数收益率
R = R.dropna() #删除缺失值
R.describe() #日收益率情况查看

#直方图
R.hist(bins=40)
plt.grid('True')

#年化收益率：日收益转化
R_mean = R.mean()*252

#计算年化协方差
R_cov = R.cov()*252
#计算相关系数
R_corr = R.corr()
#计算年化标准差
R_std = R.std()*np.sqrt(252)

#投资组合的预期年化收益
weights = np.array([0.15,0.2,0.5,0.05,0.1])
# R_port = np.sum(weights*R_mean) #向量乘法计算
R_port = np.dot(weights,R_mean) #数组计算
# weights.shape
# R_mean.shape
vol_port = np.sqrt(np.dot(weights,np.dot(R_cov,weights.T)))
print('投资组合的年化预期收益率：',round(R_port,4))
print('投资组合的年化收益波动率：',round(vol_port,4))
# 投资组合的年化预期收益率： -0.0394
# 投资组合的年化收益波动率： 0.2128

使用设定的权重计算的投资组合的年化收益率为-3.94%，年化收益波动率为21.28%。