金融分析与风险管理——期权中的希腊字母

1. 期权的Delta

期权的Delta：期权价格变动与标的物价格变动的比率，即期权价格与标的物价格之间关系曲线的切线斜率，公式如下：

$$\Delta =\frac{\partial \prod }{\partial S}$$

$\prod$ 表示期权价格，S 表示标的物价格。

Delta = 0.6 表示：当标的物价格变化一个很小的金额时，相应的期权价格变化约为标的物价格变化的60%。

利用BSM模型的期权定价公式，欧式看涨、看跌的分布如下，具体的过程可以参照:金融分析与风险管理——期权BSM模型。

欧式看涨期权的定价公式：

$$c=SN(d_1)-K{e}^{-r(T-t)}N(d_2)$$

欧式看跌期权的定价公式：

$$p=K{e}^{-r(T-t)}N(-d_2)-SN(-d_1)$$

其中,$T$ 是期权的有效期限，$t$ 是流失的时间。

$$N(x)=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x$$

$$d_1=\frac{ln(\frac{S}{K})+(r+{\sigma }^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}$$

$$d_2=\frac{ln(\frac{S}{K})+(r-{\sigma }^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}=d_1-\sigma \sqrt{T-t}$$

接下来以欧式看涨期权的多头为例对其进行推导：

$$N^{{}^{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

$$d_2=\frac{ln(\frac{S}{K})+(r-{\sigma }^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}==>d_2\sigma \sqrt{T-t}+{\sigma }^2(T-t)/2=ln(\frac{S}{K}\ast e^{r(T-t)})$$

$$\begin{gathered} N^{{}^{\prime }}(d_1)=N^{{}^{\prime }}(d_2+\sigma \sqrt{T-t})= \\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-(d_2+\sigma \sqrt{T-t}{)}^2/2}= \\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-d_2^2/2-d_2\sigma \sqrt{T-t}-{\sigma }^2(T-t)/2}= \\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-d_2^2/2}\ast e^{-d_2\sigma \sqrt{T-t}-{\sigma }^2(T-t)/2}= \\ {N}^{{}^{\prime }}(d_2)e^{-d_2\sigma \sqrt{T-t}-{\sigma }^2(T-t)/2}= \\ {N}^{{}^{\prime }}(d_2)\ast \frac{K}{S}{e}^{-r(T-t)}==>S{N}^{{}^{\prime }}(d_1)=K{e}^{-r(T-t)}{N}^{{}^{\prime }}(d_2)---->(1) \end{gathered}$$

∂ d 1 ∂ S = ∂ l n ( S K ) + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t ∂ S = 1 S σ T − t \frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{\partial \frac{ln(\frac{S}{K}) + (r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}}{\partial S} = \frac{1}{S \sigma \sqrt{T-t}}