高效判断2的幂次

核心思想

通过二进制特性，判断一个数是否仅有一个二进制位是1。因为2的幂次数的二进制形式满足这一条件（例如：1 (1), 2 (10), 4 (100), 8 (1000) 等）。

---

关键操作：k & (k - 1)

操作步骤

1. 计算 k-1：
   当 k 的二进制最低位的 1 变为 0，之后所有低位变为 1。
   示例：

   • k = 8 (1000) → k-1 = 7 (0111)

   • k = 5 (101) → k-1 = 4 (100)

2. 按位与运算 k & (k-1)：
   将 k 和 k-1 的二进制逐位进行与操作。

   • 如果 k 是2的幂次，则结果为 0。

   • 如果 k 不是2的幂次，则结果不为 0。

---

数学证明

情况1：k 是2的幂次

• 二进制形式：k 的二进制仅有一个 1（例如 1000）。

• 计算 k-1：该操作会将 k 的二进制中唯一的 1 变为 0，之后所有低位变为 1（例如 1000 → 0111）。

• 按位与结果：

    1000 (k)
  & 0111 (k-1)
  ----------
    0000

  结果为 0，满足条件。

情况2：k 不是2的幂次

• 二进制形式：k 的二进制中有多个 1（例如 1010）。

• 计算 k-1：仅影响最低位的 1，其他高位保持不变（例如 1010 → 1001）。

• 按位与结果：

    1010 (k)
  & 1001 (k-1)
  ----------
    1000

  结果不为 0，不满足条件。

---

边界条件处理

1. k = 0：

   • 0 不是2的幂次，但 0 & (-1) = 0。需额外判断 k > 0。

2. k = 1：

   • 1 是2⁰，满足条件。

   • 1 & 0 = 0，结果正确。

代码实现示例

bool isPowerOfTwo(int k) {
    return (k > 0) && ((k & (k - 1)) == 0);
}

---

优势分析

1. 时间复杂度：O(1)，仅需一次减法和按位与操作。

2. 无依赖：无需特定库函数（如__builtin_popcount），跨平台兼容性强。

3. 高效性：位运算直接操作内存，速度快于循环或数学函数。

应用 

蓝桥杯入门赛题目-----打花结

问题描述

打花结是一种中国传统手工艺，也被称为“中国结”或“结绳艺术”。它是一种用绳子编织而成的装饰品，常见于节庆、婚礼、生日等重要场合。打花结的形状多样，有圆形、方形、菱形等，每种形状都有其独特的寓意和象征意义。

小蓝最近得到了 NN 张矩形花纸。每张花纸的长为 lili​，宽为 wiwi​。小蓝想要从中选取一些花纸来制作打花结，但只有经过若干次折叠操作后使花纸的面积变为 XX 的花纸才能用于打花结。

折叠操作如下：

1. 将纸准确对折成一半，形成一条与宽度方向平行的水平对折线，长度减半。

2. 将纸准确对折成一半，形成一条与长度方向平行的垂直对折线，宽度减半。

请你判断每张花纸是否适合打花结，如果适合，则输出 Yes；否则输出 No。

输入格式

第一行输入两个整数 N,X(1≤N≤103,1≤X≤104)N,X(1≤N≤103,1≤X≤104) 表示花纸数量。

接下来 NN 行，每行输入两个整数 li,wi(1≤li,wi≤100)li​,wi​(1≤li​,wi​≤100) 表示花纸的长宽。

输出格式

输出 NN 行，若第 ii 张花纸适合打花结则输出 Yes，否则输出 No。

样例输入

3 10
2 5
10 8
3 10

样例输出

Yes
Yes
No

运行限制

语言	最大运行时间	最大运行内存
C++	1s	256M
C	1s	256M
Java	2s	256M
Python3	3s	256M
PyPy3	3s	256M
Go	3s	256M
JavaScript	3s	256M

 代码运用

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
  int n, x;
  cin >> n >> x;
  while (n--) {
    int l, w;
    cin >> l >> w;
    if (x == 0) {
      cout << "No\n";
      continue;
    }
    long long area = (long long)l * w;
   
    if (area % x != 0) {
      cout << "No\n";
      continue;
    }
  
    long long k = area / x;
    
    if (k > 0 && (k & (k - 1)) == 0) {
      cout << "Yes\n";
    } else {
      cout << "No\n";
    }
  }
  return 0;
}

代码解释

代码结构概览

这段代码用于判断多个矩形是否能被分割成指定面积（x）的瓷砖，且瓷砖数量必须是 2的幂次（如1,2,4,8等）。

---

逐行解析

int main() {
  int n, x;
  cin >> n >> x;

• 功能：

  • 读取测试用例数量 n 和单块瓷砖面积 x。

  while (n--) {
    int l, w;
    cin >> l >> w;

• 功能：

  • 循环处理每个矩形，读取其长度 l 和宽度 w。

---

    // 处理 x=0 的情况
    if (x == 0) {
      cout << "No\n";
      continue;
    }

• 关键点：

  • 避免除零错误。若 x=0，无法定义瓷砖面积，直接输出 No。

---

    // 防止整数溢出
    long long area = (long long)l * w;

• 关键点：

  • 将 l 和 w 强制转换为 long long 再相乘，防止乘积溢出（例如 l=1e5, w=1e5 时，int 会溢出）。

    // 检查面积是否能被x整除
    if (area % x != 0) {
      cout << "No\n";
      continue;
    }

• 逻辑：

  • 若总面积 area 无法被 x 整除，说明无法用完整瓷砖铺满，直接输出 No。

---

long long k = area / x;

• 功能：

  • 计算需要的瓷砖数量 k。

    // 检查k是否为正数且是2的幂次
    if (k > 0 && (k & (k - 1)) == 0) {
      cout << "Yes\n";
    } else {
      cout << "No\n";
    }

• 核心逻辑：

  1. 条件 k > 0：

     • 排除 k=0（面积不足）或 k<0（面积或瓷砖面积为负数）的情况。

  2. 位运算 (k & (k-1)) == 0：

     • 原理：若 k 是2的幂次，其二进制表示仅有一个 1。

       • 例如 k=8 (1000)，k-1=7 (0111)，按位与结果为 0。

     • 意义：高效判断 k 是否为2的幂次，时间复杂度 O(1)。

---

边界条件处理

1. x=0：

   • 直接输出 No，避免除零错误。

2. 整数溢出：

   • 使用 long long 存储面积，防止 l*w 溢出。

3. k<=0：

   • 若 k 非正数（如 x 为负数或面积不足），直接输出 No。

代码功能性对比 

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
  int n,x;
  cin>>n>>x;
  while (n--) {
    int l,w;
    cin>>l>>w;
    cout<<(l*w%x == 0 && __builtin_popcount(l*w/x) == 1 ? "Yes" : "No")<<'\n';
  }
  
  return 0;
}

看似简洁实际既不利于理解和使用，而且调用_builtin_popcount库，复杂度大大提升

写者笔记