人工神经网络(ANN)模型简介

ANN简介

作为深度学习的基础，神经网络模型发挥着很重要的作用。

我们来看一下ANN的定义：

神经网络是由具有适应性的简单单元组成的广泛并行互联的网络，它的组织能够模拟生物神经系统对真实世界物体所作出交互反应。

我们知道，生物神经网络的简单单元由生物神经元组成，那么在ANN模型中，简单单元由什么组成呢？

在经典ANN模型中，简单单元，即M-P神经元模型。我们知道感知机和Logistic回归都是线性分类模型，它们的不同点在于分类函数的选取是不一样的。
我们令$z = w^Tx$。感知机的分类决策函数：$f(x) = g(z) = sign(z)$
其中$sign(\cdot)$为阶跃函数：$sign(z) = 1 \ if z \geq 0 \ else \ 1$
Logistic回归的分类决策函数则是Sigmoid函数：$f(x) = g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$，它表示的是将样本分类成正例和负例的几率比。也是一个阶跃函数的替代函数。

具体地请参考我的博客
https://blog.youkuaiyun.com/wuyanxue/article/details/80205582

典型的M-P神经元模型的输入与输出和Logistic回归一样，不过在这里Sigmoid是作为激活函数而存在的。也就是说，Sigmoid表示的只是一个神经元的输出，不代表整个ANN的输出。一张图形象地表示该MP神经元：

ANN是什么？

我们知道生物神经网络是由非常多的生物神经元连接而成。类似地，ANN也是由多个神经元模型按照一定的规则连接构成。下图展示了一个全连接（Full Connected）神经网络（FNN）：

我们可以发现FNN具有以下特点：
1. 神经元按照层来布局。如上图，最左边称为输入层（Input layer），中间称为隐藏层（Hidden layer），最右边称为输出层（Output layer）
2. 同一层的神经元没有连接。
3. 第N层的每个神经元都第N-1层的所有神经元连接（这就是Full connected的含义），第N-1层神经元的输出就是第N层神经元的输入。
4. 每个神经元的连接都具有一个权值。注意到，这里的$X = (x_1, x_2, x_3)$表示的是一个输入向量，$Y = (y_1, y_2)$表示的是输出向量。
5. 另外，隐藏层可以是多层。

不失一般性，假设一个训练样本为$x = (x_1, \dots, x_d) \in R^d$, 对应的输出向量为$y = (y_1, \dots, y_l)$，$l$为类别个数，即输出向量是类别的独热编码。隐藏层第h个节点的输入权重为$v_{1h}, \cdots, v_{dh}$，对应的偏移量为$\gamma_h$。第j个输出层节点的输入权重为$w_{1j}, \dots, w_{q_j}$，对应的偏移量为$\theta_j$。 $q$为隐藏层节点个数。

令$f(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$为sigmoid函数

如图所示，第j个输出神经元的输入是
$\beta_j = \sum_{h = 1}^q w_{hj}b_h$
第j个输出神经元的输出是
$y_j = f(\beta_j + \theta_j)$
第h个隐层神经元的输入是
$\alpha_h = \sum_{i = 1}^d v_{ih}x_i$
第h个隐层神经元的输出是
$b_h = f(\alpha_h + \gamma_h)$

现在，我们知道了在FNN中的每个神经元输入输出的计算方法。那么如何来训练呢？

FNN的训练算法-误差逆传播（Back Propagation, BP）算法

再来看这个图，这里的输出对应的有三个分量，这里假设的是一个三类别分类问题。所以在训练的时候，类别属性要进行one hot coding。

对一个训练样本$(x, y) \in R^d \times R^l$, $l$为类别个数，假设神经网络的输出为$\hat{y} = (\hat{y}_1, \dots, \hat{y}_l)$。
即$\hat{y}_j = f(\beta_j + \theta_j)$
那么网络在输出节点上的均方误差为
$E = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^l(y_j - \hat{y}_j)^2$
BP算法的本质就是梯度下降，在训练神经网络的时候，任意参数的迭代更新公式为：
$v \leftarrow v + \Delta v$
1. 隐藏层到输出层的权值$w_{hj}$的更新过程如下:
$\Delta w_{hj} = -\eta \frac{\partial}{\partial w_{hj}}E$
我们知道，$w_{hj}$构成了$\beta_j$, $\beta_j$影响了$\hat{y}_j$, 最终$\hat{y}_j$影响了$E$
因此由链式法则可知：
$\Delta w_{hj} = -\eta \frac{\partial \beta_j}{\partial w_{hj}}\frac{\partial \hat{y}_j}{\partial \beta_j}\frac{\partial E}{\partial \hat{y}_j}$
$\frac{\partial \beta_j}{\partial w_{hj}} = b_h$
$\frac{\partial \hat{y}_j}{\partial \beta_j} = \hat{y}_j (1 - \hat{y}_j)$
$\frac{\partial E}{\partial \hat{y}_j} = (\hat{y}_j - y_j)$
因此$\Delta w_{hj} = \eta \hat{y}_j (1 - \hat{y}_j)(y_j - \hat{y}_j)b_h$
2. 输出层的阈值$\theta_j$更新如下：
$\Delta \theta_j = -\eta \frac{\partial}{\partial \theta_j}E = -\eta \frac{\partial \hat{y}_j}{\partial \theta_j}\frac{\partial E}{\partial \hat{y}_j}$
$\frac{\partial \hat{y}_j}{\partial \theta_j} = \hat{y}_j (1 - \hat{y}_j)$
$\Delta \theta_j = \eta \hat{y}_j (1 - \hat{y}_j)(y_j - \hat{y}_j)$

这时，误差被逆向传播到隐藏层。同理可以计算，$\Delta v_{ih}$和$\gamma_h$。

总结一下，标准BP算法的伪代码如下：

我们看到，上述算法是针对每一个样本都会进行一次参数更新，类似的可以推导出累积BP算法，即对所有训练集的累积误差极小化。这两种方法类似于随机梯度下降和标准梯度下降的区别。而读取训练集一遍往往被称为一轮学习(one epoch)。