动态规划应用之一

笔者在前不久做了腾讯的在线笔试题，面试的移动客户端开发实习生岗位，其中有这样的一个题目：

有一个M行N列的矩阵，其中部分格子里面有一些有价值的物品。现在你从左上角出发，每次只能向右或者向下走，走到右下角的时候，你能获取的物品的总价值最大有多少？
输入数据：第一行有两个数字M N，表示这个矩阵有M行N列。然后从第二行开始，有M行整数，每行都有N个非负整数，表示这一格的物品的价值
输出数据：可以获取的最大的物品总价值
数据范围：0<M, N<=1000，矩阵中的数字不会超过1000
示例
输入：
4 5
0 0 8 0 0
0 0 0 9 0
0 7 0 0 0
0 0 6 0 0
输出：
17

看到这个题，最初的想法是，找出矩阵的最大值，然后以这个值为界将矩阵分成两个矩阵（左上矩阵：这个最大值为左上矩阵的右下角元素；右下矩阵：这个最大值为右下矩阵的左上角元素）。后来一细想，这样做是有问题的，因为这样就直接抛弃了左下和右上的矩阵，就丢失了很多信息。后来想到用动态规划的方法去解决就清晰多了。

明确一下，矩阵有M行和N列，因为数组序号是从0开始的，因此这里行号和列号我也从0开始，那么最后一行就是(M-1)行，最后一列就是(N-1)列。

动态规划有两大性质：最优子结构和重叠子问题。利用动态规划的思想对此问题进行简单的分析。

假设整体最优解路线必定经过格子[x][y]（x,y在矩阵范围内），则整体的最优解必定是（[0][0]->[x][y]）和（[x][y]->[M-1][N-1]）这两个矩阵最优解的和，这就是最优子结构；如果基于这个思想去编程实现的话，我们需要对（x,y）在整个矩阵范围内进行扫描，并找到整体最优解的最大值。然而，这样实现就会显现出重叠子问题重复求解的问题。比如，对于（[0][0]->[x][y]），他的最优解必定是【（[0][0]->[x-1][y]）的最优解加上（x,y）上的价值】与【（[0][0]->[x][y-1]）的最优解加上（x