11. Container With Most Water

最新推荐文章于 2022-07-23 19:08:46 发布

原创最新推荐文章于 2022-07-23 19:08:46 发布 · 329 阅读

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本文探讨了一种经典的算法问题——容器盛水量最大化问题，并通过两种不同的算法实现：一种是初始的穷举法，另一种则是更高效的贪心算法。通过对算法的逐步改进，展示了如何从简单暴力的方法过渡到更为优化的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一开始写的算法，只是穷举法，结果导致在最后一个大的input case总司TLE，后来通过剪枝，勉强28ms通过。如下是我的代码：

    int maxArea(vector<int>& height) {
        int i, j, maxArea = 0, tmp, len = (int)height.size(), loopMax = 0, maxStart = 0, maxMin = 0;;
        for (i=0; i<len-1; i++) {
            if (height.at(i) <= maxStart) { // <span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">maxStart当前最大数值时，起始线的长度</span>
                continue;
            }
            loopMax = 0;
            for (j=len-1; j>=i+maxArea/height.at(i)+1; j--) { // 为什么用递减？是为了能够利用j和i之间距离越来越小这一特点，便于剪枝
                if (height.at(j) <= loopMax || height.at(j) <= maxMin) { 
                    continue;
                } else {
                    loopMax = height.at(j);
                }
                tmp = min(height.at(i), height.at(j)) * (j-i) ;
                if (tmp > maxArea) {
                    maxArea = tmp;
                    maxStart = height.at(i);
                    maxMin = min(height.at(i), height.at(j));
                }
            }
        }
        return maxArea;
    }

后来看了一下网上的代码，才发现这道题目的解法其实是贪心。贪心方法的特点是解法容易，复杂度一般是O(n^2)乃至O(n)，但是证明较难，这道题目，我在Google上几乎没找到特别严谨并且易于理解的证明。不过其大致思想可以解释如下：

1. 最宽的容器(通过第一根和最后一根线构造)是一个非常好的候选者，因为它的宽最大。它的高度为第一根线和第二根线中较短的那根线的长度。

2. 所有其他的容器都比(1)中最宽的容器窄，因此为了能够多装水，构造容器的两根线中最短的那根线应该尽可能长。

3. 二根线中，较短的那根线不符合(2)，应该直接被移除。

注意上述，论述中的(3)并不严谨，在这里只是方便大家理解和记忆。贪心的代码如下：

    int maxArea(vector<int>& height) {
        int maxArea = 0, i = 0, j = (int)height.size()-1;
        while (i < j) {
            maxArea = max((height.at(i), height.at(j)) * (j-i), maxArea);
            if (height.at(i) < height.at(j)) {
                i++;
            } else {
                j++;
            }
        }
        return maxArea;
    }

思路：

由于ai和aj (i<j) 组成的container的面积：S(i,j) = min(ai, aj) * (j-i)

所以对于任何S(i'>=i, j'<=j) >= S(i,j)，由于j'-i' <= j-i，必然要有min(ai',aj')>=min(ai,aj)才行。同样可以采用头尾双指针向中间移动：

当a(left) < a(right)时，对任何j<right来说

(1) min(a(left),aj) <= a(left) = min(a(left), a(right))

(2) j-left < right-left

所以S(left, right) > S(left, j<right)。排除了所有以left为左边界的组合，因此需要右移left。同理，当a(left) > a(right)时，需要左移right。而当a(left) = a(right)时，需要同时移动left和right。

思路整理：

left = 0, right = n-1

(1) a[left] < a[right], left++

(2) a[left] > a[right], right--

(3) a[left] = a[right], left++, right--

终止条件：left>-right

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int> &height) {
        int mxArea = 0; 
        int left = 0, right = height.size()-1;
        while(left<right) {
            int curArea = min(height[left],height[right])*(right-left);
            mxArea = max(curArea,mxArea);
            if(height[left]<height[right])
                left++;
            else if(height[left]>height[right])
                right--;
            else {
                left++;
                right--;
            }
        }
        return mxArea;
    }
};