10. Regular Expression Matching

这道题，难度很大，而且边界条件比较复杂，需要小心谨慎考虑。此题的突破口在于"*"这个符号，无论解法是DFS递归，还是DP，之所以可行性的原因无非都利用了A*或者.*可以表示0个或者无数个A或者.的原因，而我DP可以使用的一个重要条件就是问题中存在子结构。切记切记。另外再吐槽一下网络上的解题报告，有的质量差劲得不行，如果要看别人的解法的话，一定要找到高质量的解题报告。否则会浪费太多时间。

Solution 1

DFS，递归。

• p匹配完后，如果s还没匹配完，则匹配失败，否则成功。
• 如果p当前字符的下一个字符为*，则考虑*的0次匹配isMatchRecur(s, p + 2)和其多次匹配（利用递归）。
• 否则如果s匹配完了，p未匹配完，失败。
• 判断s和p当前字符是否匹配，成功则匹配下一个字符，否则失败。

代码中使用const char *而不直接使用string作为参数递归。使用const char *只用20ms，而使用string需要800ms

class Solution {  
public:  
    bool isMatch(string s, string p) {
        const char *ss = s.c_str();
        const char *pp = p.c_str();
        return isMatchRecur(ss, pp);
    }

    bool isMatchRecur(const char *s, const char *p) {
        if (!*p)    return (!*s);
<span style="white-space:pre">	</span><span style="color:#ff0000;">(1)</span>
        if ('*' == *(p + 1)) <span style="color:#ff0000;">(2) // 在整个算法中，需要注意的一点是p匹配的永远是除*以外的字符。
</span>            return (isMatchRecur(s, p + 2) || (*s && (*s == *p || '.' == *p) && isMatchRecur(s + 1, p))); // 参看模式a*, 字符串aa

        if (!*s)    return false; // 之所以不将此判断条件放在位置(1)处，是因为假如p=‘.*’，s='\0'，则此函数将返回false，而事实上，在判断条件(2)中的<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">isMatchRecur(s, p + 2)为真，函数应该返回true。</span>
        return (*s == *p || '.' == *p) ? isMatchRecur(s + 1, p + 1) : false; // 参照模式a., 字符串ab
    }
};

Solution 2

动态规划法。动态方程数组格式为：

[i,j-1]       [i,j]      [i,j+1]

[i+1,j-1]  [i+1, j]    [i+1,j+1]

dp[i+1][j+1]表示s[0..i]是否匹配p[0..j]。状态转移方程如下：

• 若p[j] != '*'，dp[i+1][j+1] = (s[i] == p[j] || p[j] == '*') && dp[i][j]
• 若p[j] == '*'
  1. *匹配了0个字符。dp[i+1][j+1] = dp[i+1][j-1]（跳过p[j]的*和*前面的p[j-1]。
  2. *匹配了1个字符。dp[i+1][j+1] = dp[i+1][j]（跳过p[j]的*)
  3. *匹配了2个或2个以上的字符。dp[i+1][j+1] = dp[i][j+1] && (p[j-1] == s[i] || p[j-1] == '.')（s[0..i-1]与p[0..j]匹配，并且p[j-1]与s[i]匹配）

<pre name="code" class="cpp">class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        bool dp[s.size() + 1][p.size() + 1];
        dp[0][0] = true; // 空的模式与空的字符串，应该为true
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) // 字符串还有，模式为空
            dp[i][0] = false;
        
        for (int j = 1; j <= p.size(); j++) // 对照模式a*b*c*, a*或者.*可以匹配空字符串
            dp[0][j] = j > 1 && p[j-1] == '*' && dp[0][j-2];
        
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < p.size(); j++) {// 注意在dp中，p[j]为*或者其他
                if (p[j] != '*') {
                    dp[i+1][j+1] = (p[j] == '.' || s[i] == p[j]) && dp[i][j];
                } else {
                    // 下面的三种情况分别为p[j-1]*匹配s[0...i]中0个, 1个, 或者多个字符。
                    dp[i+1][j+1] = j > 0&&dp[i+1][j-1] || dp[i+1][j] || j > 0 && (p[j-1] == '.' || s[i] == p[j-1]) && dp[i][j+1];
                }
            }
        }
        return dp[s.size()][p.size()];
    }
};