LeetCode Sqrt(x)

最新推荐文章于 2020-06-14 21:51:34 发布

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本文介绍使用牛顿法求解平方根的过程。通过迭代计算逼近目标值，每轮迭代精度翻倍。给出具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

用牛顿求根法

首先，选择一个接近函数 $f(x)$ 零点的 $x_0$ ，计算相应的 $f(x_0)$ 和切线斜率 $f'(x_0)$ （这里 $f'$ 表示函数 $f$ 的导数）。然后我们计算穿过点 $(x_0, f(x_0))$ 并且斜率为 $f'(x_0)$ 的直线和 $x$ 轴的交点的 $x$ 坐标，也就是求如下方程的解：

$f(x_0)= (x_0-x)\cdot f'(x_0)$

我们将新求得的点的 $x$ 坐标命名为 $x_1$ ，通常 $x_1$ 会比 $x_0$ 更接近方程 $f(x)=0$ 的解。因此我们现在可以利用 $x_1$ 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

已经证明，如果 $f'$ 是连续的，并且待求的零点 $x$ 是孤立的，那么在零点 $x$ 周围存在一个区域，只要初始值 $x_0$ 位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果 $f'(x)$ 不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

public class Solution {
    
    public int sqrt(int x) {
        double a = x, b = 0;
        while (Math.abs(b - a) > 1e-6) {
            b = a;
            a = (b + x / b) / 2;
        }
        
        return (int)a;
    }
}