[图论]点分治

最新推荐文章于 2024-05-26 16:00:25 发布

Aurora141592

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分类专栏：图论优化

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这篇博客介绍了如何使用点分治算法解决树上两点间距离不超过给定值的问题。通过计算子树的重心，递归处理每个子树，并应用尺取法计算答案。文章提供了洛谷两道题目的详细解题代码，分别是P4178和P3806，展示了如何在实际问题中应用点分治策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

洛谷 – P4178 – Tree
https://www.luogu.org/problem/P4178
给你一棵TREE,以及这棵树上边的距离.问有多少对点它们两者间的距离小于等于K

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 4e4 + 10, mod = 1e9 + 7, inf = 0x3f3f3f3f;

bool vis[maxn];
int sz[maxn], dis[maxn], cnt, cur, sum, zx, k;
ll ans = 0;
vector<pii> g[maxn];
void cal_sz(int u, int p)
{
    sz[u] = 1;
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first] || v.first == p) continue;
        cal_sz(v.first, u);
        sz[u] += sz[v.first];
    }
}
int get_zx(int u, int p)//获得当前子树的重心
{
    int res = 0;
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first] || v.first == p) continue;
        get_zx(v.first, u);
        res = max(res, sz[v.first]);
    }
    res = max(res, sum - sz[u]);
    if (res < cur) {
      zx = u;
      cur = res;
    }
    return zx;
}
void get_len(int u, int p, int d)//求所有点到这个点的路径长度
{
    dis[++cnt] = d;
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first] || v.first == p) continue;
        get_len(v.first, u, d + v.second);
    }
}
int cal(int u, int d)//尺取计算当前的答案
{
    cnt = 0;
    get_len(u, 0, d);
    sort(dis + 1, dis + 1 + cnt);
    int tc = 0, l = 1, r = cnt;
    while (l <= r){
        if (dis[l] + dis[r] <= k){
            tc += r - l;
            ++l;
        }else --r;
    }
    return tc;
}
void solve(int u)//容斥并分治递归求解
{
    vis[u] = 1;
    ans += cal(u, 0);
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first]) continue;
        ans -= cal(v.first, v.second);//容斥，减去到子节点距离小于等于k - v.second的数量
        cal_sz(v.first, 0);
        sum = sz[v.first], cur = inf;
        int zx = get_zx(v.first, 0);
        solve(zx);
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; ++i){
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(pii(v, w));
        g[v].push_back(pii(u, w));
    }
    cin >> k;
    cal_sz(1, 0);
    sum = n, cur = inf;
    solve(get_zx(1, 0));
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

洛谷 – P3806 -【模板】点分治1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 1e4 + 10, mod = 1e9 + 7, inf = 0x3f3f3f3f;

bool vis[maxn];
int sz[maxn], cnt, cur, sum, zx, k;
ll ans = 0;
vector<pii> g[maxn];
pii dis[maxn];
void cal_sz(int u, int p)
{
    sz[u] = 1;
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first] || v.first == p) continue;
        cal_sz(v.first, u);
        sz[u] += sz[v.first];
    }
}
int get_zx(int u, int p)//获得当前子树的重心
{
    int res = 0;
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first] || v.first == p) continue;
        get_zx(v.first, u);
        res = max(res, sz[v.first]);
    }
    res = max(res, sum - sz[u]);
    if (res < cur) {
      zx = u;
      cur = res;
    }
    return zx;
}
void get_len(int son, int u, int p, int d)//求所有点到这个点的路径长度
{
    dis[++cnt] = pii(d, son);
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first] || v.first == p) continue;
        get_len(son, v.first, u, d + v.second);
    }
}
bool cal(int u, int d)//尺取计算当前的答案
{
    cnt = 0;
    dis[++cnt] = pii(0, 0);
    for (pii v : g[u]) if (!vis[v.first]) get_len(v.first, v.first, u, v.second);

    sort(dis + 1, dis + 1 + cnt);
    int l = 1, r = cnt;
    while (l <= r){
        if (dis[l].first > k) break;
        int sr = upper_bound(dis + 1 + l, dis + 1 + r, pii(k - dis[l].first, inf)) - dis;
        int sl = lower_bound(dis + 1 + l, dis + 1 + r, pii(k - dis[l].first, 0)) - dis;
        if (sl < sr && l == 1) return true;
        for (int i = sl; i < sr; ++i){
            if (dis[i].second != dis[l].second || dis[l].first == 0) return true;
        }
        ++l;
    }
    return false;
}
bool solve(int u)//分治递归求解
{
    vis[u] = 1;
    if (cal(u, 0)) return true;
    for (pii v : g[u]){
        if (vis[v.first]) continue;
        cal_sz(v.first, 0);
        sum = sz[v.first], cur = inf;
        int zx = get_zx(v.first, 0);
        if (solve(zx)) return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i < n; ++i){
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(pii(v, w));
        g[v].push_back(pii(u, w));
    }
    while (m--){
        cin >> k;
        cal_sz(1, 0);
        sum = n, cur = inf;
        if (solve(get_zx(1, 0))) cout << "AYE" << '\n';
        else cout << "NAY" << '\n';
        ans = 0;
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
    }
    return 0;
}