[图论]分层图最短路

最新推荐文章于 2022-08-18 22:24:34 发布

Aurora141592

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分类专栏：图论

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本文介绍了如何应用分层图解决图论问题，通过分析ABC132-E和洛谷P4568题目，阐述了在每次走三步的情况下，如何将图分成三层并进行建模，同时处理环的情况。通过这种方法，可以高效地找到最短路径并进行BFS搜索。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

ABC132 – E – Hopscotch Addict
https://atcoder.jp/contests/abc132/tasks/abc132_e
分层图的思想很重要。
这题算比较简单的，因为每次都要走三步，我们假设每次只走一步，那么每个点就有三种状态：起点（终点）、走一步到达的点、走两步到达的点，那么我们把图分成三层，每走一步相当于往下一层图走，只有每三步到达的点才是最终停下来的点，连边的时候就连到下一层对应的点，这个方法同时也能很好的处理环的情况，建完图bfs一下就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 5, inf = 0x3f3f3f3f;

vector<int> g[3 * maxn];
int d[3 * maxn];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    while (m--){
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        //模3循环，点分成3层，模3为0的u连到模3为1的v，后面同理
        g[3 * u].push_back(3 * v + 1);
        g[3 * u + 1].push_back(3 * v + 2);
        g[3 * u + 2].push_back(3 * v);
    }

    int s, t;
    cin >> s >> t;

    queue<int> qi;
    qi.push(3 * s);
    while (!qi.empty()){
        int u = qi.front(); qi.pop();
        for (int v : g[u]) if (!d[v]) {
            d[v] = d[u] + 1;
            qi.push(v);
        }
    }

    cout << (d[3 * t] ? d[3 * t] / 3 : -1) << endl;
    return 0;
}

洛谷 – P4568 – [JLOI2011]飞行路线
https://www.luogu.org/problem/P4568

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 1e4 + 10;
struct edge{
    int v, c;
};
vector<edge> g[maxn];
int d[maxn];
int main()
{
    int n, m, k, q, z, u, v, c;
    scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &k, &q, &z);
    ++k;//多搞一层
    for (int i = 1; i <= m; ++i){
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &c);
        for (int j = 0; j < k; ++j){
            if (j < k - 1) g[k * u + j].emplace_back(edge{k * v + j + 1, 0});
            if (j < k - 1) g[k * v + j].emplace_back(edge{k * u + j + 1, 0});
            g[k * u + j].emplace_back(edge{k * v + j, c});
            g[k * v + j].emplace_back(edge{k * u + j, c});
        }
    }
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[k * q] = 0;
    priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > pqi;
    pqi.push(pii(0, k * q));
    while(!pqi.empty()){
        pii e = pqi.top(); pqi.pop();
        if (d[e.second] < e.first) continue;
        int u = e.second, c = e.first;
        for (edge te : g[u]){
            if (d[te.v] > c + te.c){
                d[te.v] = c + te.c;
                pqi.push(pii(d[te.v], te.v));
            }
        }
    }
    int ans = inf;
    for (int i = 0; i < k; ++i) ans = min(ans, d[z * k + i]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}