关于排队模型的一些名词解释（随笔）

Kendall’s notation肯德尔记法

原用三个因子描述排队模型，后扩充为6个：

• A：到达队列之间的时间。意思是说每两个人，第一个人到达的时间与第二个人到达的时间差。
• S：服务时间。服务者为每个人服务所需要的时间。
• c：服务人员的数量。特殊情况就是c=1
• K：队列容量。比如一家咖啡厅最多能容纳多少顾客。
• N：顾客数量。就是
• D：队列优先顺序。比如FIFO，或者LRU，或者特权优先

后面三个如果省略不写，则意味着无穷大和FIFO

M/M/1队列模型

M指的是Markov，马尔科夫，一种随机概率模型。也就是说M/M/1实际上是M/M/1/$\infty$/$\infty$/FIFO
M/M/1是一种单一服务器模型，就是只有一个服务器工作，处理请求。
这是一种排队模型，所以要依据“肯德尔记法”，Kendall’s notation，满足如下条件：

• 到达时间成泊松分布(Poisson Distribution)
• 服务时间是指数分布(Exponential Distribution)
• 一台服务器
• 队列容量无限
• 顾客数量无限

泊松分布：
$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{\lambda },k=0,1,...$
$\lambda$是单位时间内，事件发生的次数。

指数分布：

需要特殊说明的是，指数分布和泊松分布都属于马尔科夫模型，因此他们都属于M/M。

用公交车模型来模拟M/M/1队列：

• 上公交车的速率(加入队列的速率)为$\lambda$
• 离开公交车的速率(离开队列的速率)为$\mu$
• 公交车在服务，且是唯一服务者
• 公交车可容纳无限制的人数
• 等待公交车到达的人数无限制

其中:

• 缓冲效用：$\rho =\frac{\lambda }{\mu }$代表服务被占用的平均概率。
• 系统处在一共i个人的概率为：$Probablity(q=i)={\pi }_i=(1-\rho ){\rho }^i$
• 系统的平均人数为：$\overline{N}=\frac{\rho }{1-\rho }$，方差为:${\sigma }_N^2=\frac{\rho }{(1-\rho {)}^2}$
• 单位时间内系统完成服务的人数：$N_S=\rho \mu =\lambda$
• 在队列中等候服务的人数（等待下车的人）：${\overline{N}}_Q=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }$
• 每个人的平均逗留时间（等待公交车+等待到站的时间）：$T=\frac{1}{\mu -\lambda }$
• 每个人的等待服务时间：$W=\frac{{\overline{N}}_Q}{\lambda }=T-\overline{x}=T-\frac{1}{\mu }=\frac{\rho }{1-\lambda }$

Little’s Law李特尔法则

利特尔法则可用于一个稳定的、非占先式的系统中。也就是FIFO或者FILO，不存在特权人物。
$$L=\lambda W$$
$L$是平均顾客人数，$\lambda$是有效抵达率，$W$是等待时间。
公式简单但是难懂，用一个计算机科学中的例子：

在QQ的文件传输中需要使用线程池操作，假设每个文件需要一个线程，平均每个线程传输文件使用的时间为10s，每秒有1w人传输文件，请问线程池中需要维护的线程有多少？
答案是：L=1w*10s=10w个线程
什么意思呢？就是线程池中只需要保持10w个线程就能解决需求（当然是理想情况下）

马尔科夫链

前面说到，马尔科夫是一种随机概率模型，马尔科夫链就是一系列随机过程的结果的合集，他们是离散的。
那么每一状态点之间都有相互关系，又都没有相互关系。
有相互关系指的是，每一个状态点都可以通过概率关系转换成两一个状态点。二没有关系指的是，每一个状态点的出现都是独立的，不受其他状态点影响的。
假设${\pi }_0$是初始状态，${\pi }_1$是中间状态，${\pi }_n$是结束状态，有：

• $\lambda {\pi }_0=\mu {\pi }_1\lambda 是前进概率，\mu 是返回概率$
• $(\lambda +\mu ){\pi }_1=\lambda {\pi }_0+\mu {\pi }_2$
• $(\lambda +\mu ){\pi }_n=\lambda {\pi }_{n-1}+\mu {\pi }_{n+1}$
• ${\pi }_n=(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n{\pi }_0$
• 此时让$\rho =\frac{\lambda }{\mu }，\rho <1$，有$1={\Sigma }_{i=0}^{\infty }{\pi }_i={\pi }_0{\Sigma }_{i=0}^{\infty }{\rho }^i=\frac{{\pi }_0}{1-\rho }$。所以有，${\pi }_0=1-\rho .$
  • 证明:${\pi }_0{\Sigma }_{i=0}^{\infty }{\rho }^i=\frac{{\pi }_0}{1-\rho }$，等于证明${\Sigma }_{i=0}^{\infty }{\rho }^i=\frac{1}{1-\rho }$ ，等于证明:${\rho }^0+{\rho }^1+...+{\rho }^n=\frac{1}{1-\rho }$.等比数列求和，首项为1，比为$\rho$，${\rho }^n$接近无穷。