hdu5755 Gambler Bo（gauss解同余方程）

最新推荐文章于 2021-01-02 12:40:22 发布

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#高斯消元

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本文介绍了一种通过高斯消元解决特定矩阵操作问题的方法。在一个由0、1、2组成的n*m矩阵中，目标是在限定的操作次数内将矩阵元素全部变为0。文章详细解释了如何建立方程组，并利用高斯消元法找到解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题目描述：
一个 $n*m$ 由0，1，2组成的矩阵，每次操作可以选取一个方格，使得ta加上2之后对3取模，周围的四个方格加上1后对3取模，在 $n*m$ 操作次数内让整个矩阵变成0。输出一种方案。

分析：
模数好啊，原数=逆元

状压dp枚举每一行肯定不行了
然而想到了开灯问题，这道题可以用高斯消元！

设直接操作 $(i,j)$ 的次数为 $x_{i,j}$
$ans(i,j)=2*x_{i,j}+x_{i-1,j}+x_{i,j-1}+x_{i+1,j}+x_{i,j+1}+a[i][j]=0~~~(mod~3)$
我们可以用gauss求解未知数

时间复杂度： $O((nm)^3)$

tip

dalao还有 $O(m^3)$ 做法

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int p=3;
const int N=1003;
int a[N][N],n,m,tot,ans[N],cnt=0;

int get(int x,int y) {return (x-1)*m+y;}

int gauss(int n) {
    int now=1,to;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        for (to=now;to<=n;to++)
            if (abs(a[to][i])>0) break;
        if (to>n) continue;
        if (now!=to)
            for (int j=1;j<=n+1;j++)
                swap(a[now][j],a[to][j]);
        for (int j=now+1;j<=n;j++) 
            if (a[j][i]) {
                int t=((a[j][i]*a[now][i])%p+p)%p;
                if (a[j][i]*a[now][i]<0) t=-t;
                for (int k=1;k<=n+1;k++) {
                    a[j][k]-=t*a[now][k];
                    a[j][k]=(a[j][k]%p+p)%p;
            }
        }
        now++;
    }
    for (int i=n;i>=1;i--) {
        ans[i]=((a[i][n+1]*a[i][i])%p+p)%p;
        cnt+=ans[i];

        for (int j=i-1;j>=1;j--) 
            if (a[j][i]) {
                a[j][n+1]-=a[j][i]*ans[i];
                a[j][n+1]=(a[j][n+1]%p+p)%p;
            }
    }   
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        cnt=0;

        scanf("%d%d",&n,&m);
        tot=n*m;
        for (int i=1;i<=n;i++) 
            for (int j=1;j<=m;j++) {
                int x; scanf("%d",&x);
                int num=get(i,j);
                a[num][tot+1]=(p-x%p)%p;
                a[num][num]=2;
                if (i>1) a[num][get(i-1,j)]=1;
                if (j>1) a[num][get(i,j-1)]=1;
                if (i<n) a[num][get(i+1,j)]=1;
                if (j<m) a[num][get(i,j+1)]=1;
            }
        gauss(tot);
        printf("%d\n",cnt);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++) {
                int num=get(i,j);
                if (ans[num])
                    for (int k=1;k<=ans[num];k++)
                        printf("%d %d\n",i,j);
            }
    }
    return 0;
}