Sqrt(x)算法详解

题目：Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

求x的开方

牛顿迭代法求解：

计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f’(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f’(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

有了迭代公式xi+1= (xi + n/xi) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

    int mySqrt(int x) {
        if(x==0)return 0;
        double pre=0;
        double cur=1;
        do
        {
            pre=cur;
            cur=(pre+x/pre)/2;
        }while(abs(cur-pre)>0.00001);
        return cur;
    }