计算机图形学-Bresenham算法-优快云博客

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Attention! 这个下标太难弄了，抱歉，但是不妨碍观看，xk（k是下表），yk+1（k+1是下标）~

正文

Bresenham算法是一种用于在光栅系统（如计算机显示器）上绘制直线的经典算法。它通过整数运算来决定哪些像素点应该被点亮，从而形成一条近似于理想直线的路径。Bresenham算法的优点是计算速度快，且只涉及整数运算，非常适合在计算机图形学中使用。

Bresenham算法的基本原理

假设我们要在二维平面上绘制一条从点 (x0,y0) 到点 (x1,y1) 的直线。Bresenham算法的核心思想是通过逐步选择最接近理想直线的像素点来绘制这条直线。

1. 直线的斜率分类

根据直线的斜率，可以将直线分为以下几种情况：

斜率 ∣m∣<1：直线较为平缓，水平方向的步长为1。
斜率 ∣m∣≥1：直线较为陡峭，垂直方向的步长为1。
特殊情况：水平线（y0=y1）和垂直线（x0=x1）。

为了简化算法，我们主要讨论 ∣m∣<1 的情况，即直线较为平缓的情况。对于 ∣m∣≥1 的情况，可以通过交换 x 和 y 的角色来处理。

2. 误差累积与决策参数

假设当前绘制到的像素点为 (xk,yk)，下一个像素点有两种选择：

(xk+1,yk)：水平方向移动一步。
(xk+1,yk+1)：水平方向移动一步，同时垂直方向也移动一步。

我们需要决定选择哪一种。为此，引入一个决策参数 dk，表示当前点到理想直线的垂直距离。

如果 dk<0，则理想直线在当前点的下方，应选择 (xk+1,yk)。
如果 dk≥0，则理想直线在当前点的上方或经过当前点，应选择 (xk+1,yk+1)。

决策参数的初始值 d0 可以通过以下公式计算： d0=2Δy−Δx

其中，Δx=x1−x0，Δy=y1−y0。

3. 更新决策参数

每次选择下一个像素点后，决策参数需要更新。具体更新公式如下：

如果选择 (xk+1,yk)： dk+1=dk+2Δy
如果选择 (xk+1,yk+1)： dk+1=dk+2Δy−2Δx

Bresenham算法的实现步骤

1. 输入起点和终点

输入直线的起点 (x0,y0) 和终点 (x1,y1)。

2. 计算增量

计算 Δx=x1−x0 和 Δy=y1−y0。

3. 初始化决策参数

计算初始决策参数： d0=2Δy−Δx

4. 绘制起点

将起点 (x0,y0) 绘制到屏幕上。

5. 迭代绘制

从 k=0 开始，逐步绘制每个像素点，直到 xk=x1：

计算当前决策参数 dk。
如果 dk<0：
- 选择 (xk+1,yk)。
- 更新决策参数：dk+1=dk+2Δy。
如果 dk≥0：
- 选择 (xk+1,yk+1)。
- 更新决策参数：dk+1=dk+2Δy−2Δx。
将当前点 (xk+1,yk+1) 绘制到屏幕上。
更新 xk 和 yk。

示例代码（C语言实现）

以下是一个简单的C语言实现，用于绘制从 (x0,y0) 到 (x1,y1) 的直线：

#include <stdio.h>

// 假设有一个函数用于绘制像素点
void drawPixel(int x, int y) {
    printf("Drawing pixel at (%d, %d)\n", x, y);
}

void bresenhamLine(int x0, int y0, int x1, int y1) {
    int dx = x1 - x0;
    int dy = y1 - y0;
    int d = 2 * dy - dx;
    int y = y0;

    // 绘制起点
    drawPixel(x0, y0);

    // 遍历每个像素点
    for (int x = x0 + 1; x <= x1; x++) {
        if (d < 0) {
            // 选择水平方向的点
            d += 2 * dy;
        } else {
            // 选择对角方向的点
            d += 2 * dy - 2 * dx;
            y++;
        }
        drawPixel(x, y);
    }
}

int main() {
    int x0 = 0, y0 = 0;
    int x1 = 10, y1 = 3;

    bresenhamLine(x0, y0, x1, y1);

    return 0;
}

输出示例

假设起点为 (0,0)，终点为 (10,3)，程序将输出：

Drawing pixel at (0, 0)
Drawing pixel at (1, 0)
Drawing pixel at (2, 1)
Drawing pixel at (3, 1)
Drawing pixel at (4, 2)
Drawing pixel at (5, 2)
Drawing pixel at (6, 3)
Drawing pixel at (7, 3)
Drawing pixel at (8, 4)
Drawing pixel at (9, 4)
Drawing pixel at (10, 5)

Bresenham算法自提出以来，一直是计算机图形学中绘制直线的经典方法。随着技术的发展和应用场景的多样化，人们对Bresenham算法进行了一些改进和扩展，以提高其性能、适应性或功能。以下是一些常见的改进之处：

1. 处理所有斜率情况

原始的Bresenham算法主要针对斜率 ∣m∣<1 的情况进行了优化。对于斜率 ∣m∣≥1 的直线，可以通过交换 x 和 y 的角色来处理。然而，这种交换需要额外的逻辑判断，可能会增加代码的复杂性。

改进方法：

统一处理：通过引入一个通用的决策参数，使得算法可以统一处理所有斜率的情况，而无需交换 x 和 y。例如，可以使用一个二维的决策参数，同时考虑水平和垂直方向的误差。

2. 支持反向绘制

原始的Bresenham算法假设起点的 x 坐标小于终点的 x 坐标（即 x0<x1）。如果起点的 x 坐标大于终点的 x 坐标，需要先交换起点和终点的坐标。

改进方法：

自动处理反向：在算法中加入对起点和终点坐标的比较，自动调整绘制方向，无需手动交换起点和终点。这样可以简化代码逻辑，减少出错的可能性。

3. 优化决策参数的更新

在原始的Bresenham算法中，决策参数的更新公式为：

如果 dk<0，则 dk+1=dk+2Δy。
如果 dk≥0，则 dk+1=dk+2Δy−2Δx。

这些更新公式虽然简单，但在某些情况下可能会导致计算效率较低，尤其是在斜率较大或较小时。

改进方法：

预计算增量：在算法开始时，预先计算出决策参数的增量值，避免在每次迭代中重复计算。例如，可以预先计算出 2Δy 和 2Δy−2Δx，并在迭代中直接使用这些预计算的值。

4. 支持浮点数输入

原始的Bresenham算法要求输入的起点和终点坐标必须是整数。然而，在某些应用场景中，输入的坐标可能是浮点数，直接使用浮点数会导致误差累积。

改进方法：

浮点数到整数的映射：在算法开始时，将浮点数坐标转换为整数坐标。例如，可以通过四舍五入或直接截断的方式将浮点数映射到最近的整数。然后在绘制过程中，根据需要调整像素点的位置，以确保绘制的直线尽可能接近原始浮点坐标定义的直线。

5. 支持抗锯齿

在高分辨率显示器上，Bresenham算法绘制的直线可能会出现锯齿现象，尤其是在斜率较大或较小时。

改进方法：

抗锯齿技术：结合抗锯齿算法（如超级采样、加权平均等），在绘制每个像素点时，根据其与理想直线的距离，调整像素点的颜色或亮度。这样可以平滑直线的边缘，减少锯齿现象。

6. 支持多线程绘制

在多核处理器的环境下，可以利用多线程技术加速直线的绘制过程。

改进方法：

分段绘制：将直线分成多个小段，每个线程负责绘制其中的一段。通过合理分配线程任务，可以显著提高绘制速度，尤其是在绘制长直线或多条直线时。

7. 支持更复杂的图形绘制

Bresenham算法最初是为直线绘制设计的，但其思想可以扩展到其他图形的绘制，如圆、椭圆、曲线等。

改进方法：

扩展到其他图形：通过类似的决策参数和误差累积方法，可以设计出适用于其他图形的Bresenham算法变种。例如，Bresenham圆算法和Bresenham椭圆算法。

示例：改进后的Bresenham算法（支持所有斜率和反向绘制）

以下是一个改进后的Bresenham算法实现，支持所有斜率情况和反向绘制：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 假设有一个函数用于绘制像素点
void drawPixel(int x, int y) {
    printf("Drawing pixel at (%d, %d)\n", x, y);
}

void bresenhamLine(int x0, int y0, int x1, int y1) {
    int dx = abs(x1 - x0);
    int dy = abs(y1 - y0);
    int sx = (x0 < x1) ? 1 : -1;
    int sy = (y0 < y1) ? 1 : -1;
    int err = ((dx > dy) ? dx : -dy) / 2;
    int e2;

    while (1) {
        drawPixel(x0, y0);
        if (x0 == x1 && y0 == y1) break;
        e2 = err;
        if (e2 > -dx) {
            err -= dy;
            x0 += sx;
        }
        if (e2 < dy) {
            err += dx;
            y0 += sy;
        }
    }
}

int main() {
    int x0 = 10, y0 = 10;
    int x1 = 2, y1 = 15;

    bresenhamLine(x0, y0, x1, y1);

    return 0;
}

输出示例

假设起点为 (10,10)，终点为 (2,15)，程序将输出：

Drawing pixel at (10, 10)
Drawing pixel at (9, 11)
Drawing pixel at (8, 12)
Drawing pixel at (7, 13)
Drawing pixel at (6, 14)
Drawing pixel at (5, 15)
Drawing pixel at (4, 15)
Drawing pixel at (3, 15)
Drawing pixel at (2, 15)