HDU 4349——Lucas定理的巧妙应用

本文介绍了Édouard Lucas于1878年提出的Lucas定理,并详细阐述了如何利用该定理解决HDU4349题——计算组合数C(n,m)中奇数的个数。通过将n和m表示为二进制形式,进而简化问题,最终给出了一种高效的解决方案。

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Lucas定理如下,是Édouard Lucas于1878年证明的定理,其数学表达式如下:

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:

where

and

are the base p expansions of m and n respectively.

其证明过程,我表示在一晚上没睡觉的情况下,实在是懒得去看懂........就默认该定理成立。

 

而在HDU 4349题中,是要求C(n,m)其中0<=m<=n中奇数的个数,由于n的值得范围是1<=n<=100000000,显然不可能将C(n,m)算出进行统计,那么就用到了Lucas定理。

 

每一个m都可以写成其中p=2;

每一个n都可以写成,其中p=2;

这样的话,每一个0<=ni<=1     0<=mi<=1。

由Lucas定理知,若C(n,m)是奇数,那么每一个C(ni,mi)都是奇数,这样那么ni==1 (  mi==1

或者 mi==0 )  , 而对于每组数据给定的n,其值ni是固定的。因此,只需将式子 中的换成2。那么这个式子就是n的二进制转化为10进制的式子,因此只需要统计出n转化为2进制时1的个数,就是题目的解。

附代码:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define LL long long
void solve()
{
    int n;LL temp;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        int counter=0;
        while(n)
        {
            if(n%2==1)  counter++;
            n=n/2;
        }
 
        temp=(LL)(pow(2.0,counter));
        printf("%I64d\n",temp);
    }
}
int main()
{
    solve();
    return 0;
}
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