一阶系统带宽经验公式推导

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已于 2024-12-31 09:55:43 修改

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文章标签：自动化 mcu 嵌入式硬件

于 2024-12-31 09:47:59 首次发布

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假设系统为一阶系统

$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$

此时阶跃响应

$Y(s)=\frac{1}{s(Ts+1))}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

输出响应时域表达式为

$y(t)=1-e^{-\frac{-t}{T}}$

一节系统为无超调系统，上升时间定义为系统达到稳态值的10%-90%所需时间 $T_r$ ，定义 $t_1$ 为到达10%的时间， $t_2$ 为到达90%的时间。所以

$e^{\frac{-t_1}{T}}=1-y(t_1)\Rightarrow t_1=T*ln\frac{1}{0.9}$

$e^{\frac{-t_2}{T}}=1-y(t_2)\Rightarrow t_2=T*ln\frac{1}{0.1}$

$T_r=t_2-t_1=T*ln9$

由于一阶系统的带宽就是自身的截止频率 $Bandwidth=w_c=\frac{1}{T}$ ，所以

$Bandwidth=\frac{ln9}{T_r}$

此时带宽的单位是 $rad/s$ ，转换为常见的 $Hz$ 需要除以 $2\pi$ 即

$Bandwidth=\frac{ln9}{2\pi T_r}\approx\frac{0.35}{T_r}(Hz)$

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