牛顿迭代法之求浮点数的平方根

本文介绍了牛顿迭代法,一种通过不断迭代求解问题的算法。在迭代过程中,需要确定迭代变量、建立迭代关系式并控制迭代结束条件。牛顿迭代法常用于求解方程的根,例如在寻找平方根的问题中,通过迭代公式x(n+1)=(x(n)+x(n)/a)/2逐步逼近真实值。文中还给出了C语言实现求浮点数平方根的代码示例。

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        迭代算法也称为辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程;与之相对应我们常用的方法是直接法(或称一次解法),即一次性

解决问题。迭代算法是计算机解决问题的一种基本方法。它可以很好的利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机一组指

令进行重复的执行,从而可以从变量的旧值推出它的一个新值。

 

利用迭代算法时,需要考虑的几个方面是:

一、确定迭代变量。在应用迭代算法的时候,至少存在一个直接或间接的不断由旧值推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式,是指如何从变量的一个值推出下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的

        关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程,这也是利用迭代算法进行编程的重要问题。不能让迭代过程无休止的重复执行下去。

        迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。前

        一种情况可以用固定的迭代次数来控制过程,后一种情况需要进一步分析出结束迭代过程的条件。

其中我们比较常见经典的迭代算法有如欧几里德算法、斐波那契数列、牛顿迭代法等。

 

牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上求近似值的方法。该方法用泰勒级数的前面几项来求

f(x)=0的根。

牛顿迭代公式----遇到方程f(x)=0,我们设r是f(x)=0的根,选取x0作为r的初始近似值,同时,我们可以把方程看成是一条y=f(x)在XY坐标域内的一

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利用牛顿迭代解整的算术平方根是一个常用学技巧,它基于牛-拉弗森方,一种用于逼近方程的迭代算法。对于的算术平方根,我们通常需要找到满足 \(x^2 = n\) 的 \(x\)。 牛顿迭代的基本思想是在已知某一点附近函近似的情况下,通过不断地更新这个点来逼近函的实际。对于平方根,我们的目标函是 \(f(x) = x^2 - n\),其中 \(n\) 是给定的正整。我们需要找到使得 \(f(x) = 0\) 的 \(x\) 的值。 ### 步骤描述: 1. **选择初始猜测** (\(x_0\)):可以选择 \(n\) 自身作为初始猜测,因为对于大多情况而言,这会给出一个比较接近实际平方根的起始点。 2. **迭代公式**:迭代步骤可以通过下面的公式完成: \[ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \] 对于平方根计算,这意味着: \[ x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2 - n}{2x_k} \] 这简化为: \[ x_{k+1} = \frac{x_k + \frac{n}{x_k}}{2} \] 3. **终止条件**:当两次连续的迭代结果之差小于预设的精度阈值时,停止迭代,将最后一次迭代的结果视为最终的平方根估计。 ### Python 实现: ```python def newton_sqrt(n, tolerance=1e-10): if n < 0: raise ValueError("Cannot compute the square root of a negative number.") # 初始猜测可以取 n 或者设置为 1 如果不知道从哪里开始 x_k = n while True: next_x = (x_k + n / x_k) / 2 if abs(next_x - x_k) < tolerance: return next_x x_k = next_x # 示例: 16 的平方根 result = newton_sqrt(16) print(f"Square root of 16 is approximately {result}") ``` 上述代码段实现了牛顿迭代来计算任意正整的算术平方根,并提供了一个简单的错误处理机制来防止对负的处理。您可以调整 `tolerance` 参以达到所需的精确度级别。此外,这个函也可以轻松地应用于浮点数的情况,只需稍作修改即可处理非整值。 ---
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