第2-1课：非线性方程与牛顿迭代法

在数值分析领域中，人们通常使用迭代法、逼近法和做图等方法来求解一些复杂问题的近似解，其中迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法，把这种迭代求解数学问题的方法直接体现在算法中，就可以认为是设计领域中的迭代法。在《算法设计常用思想之贪婪法、分治法和迭代法》这几课中我们介绍了迭代法的原理以及将迭代的思想应用到算法设计中，那么就需要确定三个关键点，这三个关键点确定后，算法的轮廓就出来了。这一课我们以二分逼近法和牛顿迭代法（Newton's Method）两个算法为例，再次讲解一下如何结合题目的特点用迭代法设计出对应的算法实现。

代数法求解低阶非线方程

用代数方法求一元非线性方程的解的方法有很多，常用的方法有开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，近似求解的方法有作图法以及各种迭代法。像开平方法、配方法和因式分解法这样的代数方法只适用于一些特殊的一元非线性方程，使用范围有限。而公式法则只适用于低阶方程，到目前为止，除了少数特殊形式的五阶一元非线性方程之外，五阶及五阶以上的非线性方程被认为是没有求解公式的。

代数法求解方程虽然准确性好、精度高，但是不利于编制计算机程序，所以在数值分析领域，常用各种迭代法求解一元非线性方程。迭代法方法简单，适合计算机求解，甚至可以被固化到硬件芯片中，计算效率并不比代数法差。常用的求解一元非线性方程的方法有二分逼近法和牛顿迭代法，这一课就分别介绍如何用设计和实现这两种迭代法的程序代码。

二分逼近法

先介绍一下二分逼近法的数学原理。对于实数域的函数 $f(x)$，如果存在实数 $k$，使得 $f(k) = 0$，则 $x = k$ 就是函数 $f(x)$ 的零点。如果函数 $f