用牛顿迭代法求浮点数的平方根

最新推荐文章于 2023-02-21 14:37:50 发布
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#python

本文介绍了一种使用牛顿迭代法计算任意正数平方根的方法。通过不断逼近的方式，即使最初的猜测值很不准确，经过几次迭代也能获得足够精确的结果。文中还提供了一个简单的C语言实现。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

比如我们要求a的平方根，首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代几次后x的值就已经相当精确了。

看下面(假设a=2,我们求2的平方根)：

1.先随便猜个数，比如我猜2的平方根为7

( 7  + 2/7 ) / 2 = 3.64287514
( 3.64287514  + 2/3.64287514 ) / 2 = 2.095946017

......

......

( n+ 2/n) / 2 = 1.414....

下面是代码：

  1. #define ABS(VAL) (((VAL)>0)?(VAL):(-(VAL)))   
  2. //用牛顿迭代法求浮点数的平方根   
  3. float mysqrt(float x) {   
  4.     float g0,g1;   
  5.     if(x==0)   
  6.         return 0;   
  7.     g0=x/2;   
  8.     g1=(g0+x/g0)/2;   
  9.     while(ABS(g1-g0)>0.01)   
  10.     {   
  11.         g0=g1;   
  12.         g1=(g0+(x/g0))/2;   
  13.     }   
  14.     return g1;   
  15. }  

                

        




    

    
  


            

                    
            


    



                



	

		

			

				
					
牛顿迭代法之求浮点数的平方根

				
			

			

				

					woxhty的专栏
				

				

					10-02
					
					1430
					
				

			

		

		

			
				
迭代算法也称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程；与之相对应我们常用的方法是直接法（或称一次解法），即一次性
解决问题。迭代算法是计算机解决问题的一种基本方法。它可以很好的利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机一组指
令进行重复的执行，从而可以从变量

			
		

	



                

            
              



	

		

			

				
					
浮点数求取平方根

				
			

			

				

					chuomei5332的博客
				

				

					10-27
					
					3331
					
				

			

		

		

			
				
最近在面试的时候被问到了这样一个问题，没有答好，记录学习下。
浮点数求平方根
首先我们思考这个题目，如果是求整数的平方根那么这个题目并不难，leetcode上也有同样的题目此处给出题目链接
这种题目比较容易想到的就是二分法，但是浮点数求平方根有些细节需要我们注意！
1） 浮点数求平方根，求取的结果势必是一个小数，那我们就需要考虑精度，也就是说在误差低于多少的时候，我们返回一个近似的值。
2） 采用二分法的话，上界和下界，我们需要怎样设置？
解答

...

			
		

	



              


  
              

                


	

		

			

				
					
javascript基于牛顿迭代法实现求浮点数的平方根【递归原理】

				
			

			

				

					10-19
				

			

		

		

			
				
主要介绍了javascript基于牛顿迭代法实现求浮点数的平方根,简单说明了牛顿迭代法的原理,并结合实例分析了javascript基于递归的数值运算相关操作技巧,需要的朋友可以参考下

			
		

	





	

		

			

				
					
利用牛顿迭代法求浮点数的平方根

				
			

			

				

					黑脉金的博客
				

				

					04-23
					
					582
					
				

			

		

		

			
				
话不多说，先上代码
class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        double x0 = x/2 ;
        double x1 = (x0 + x / x0) / 2 ;
        while(Math.abs(x1 - x0) > 0.01){
            x0 = x1;
            x1 = (x0 + x / x0) / 2; 
        }
        return x1;
 

			
		

	



		

			
		



	

		

			

				
					
牛顿迭代法求平方根倒数

				
			

			

				

					fucong59的博客
				

				

					02-13
					
					1737
					
				

			

		

		

			
				
牛顿迭代法，第二次看了，发现几乎又是从头开始搜集资料，不如整理记录一下，也和大家分享一下；

    牛顿迭代法的核心思想是：切线是曲线的线性逼近，通过迭代求切线最后找到函数近似解的过程。具体可以参考下面这个文章，图示画的很容易理解。

牛顿迭代法求平方根（通俗易懂版）_付石头的博客-优快云博客_迭代法求平方根

    既然理解和其核心思想，那么就开始进行公式推导：



    对上图求f(x)的零点x0即：f(x)=0的解，由牛顿迭代的核心思想可知，是比更靠近...

			
		

	





	

		

			

				
					
北邮实验：牛顿迭代法求解浮点数与整数平方根及倒数精度分析

				
			

			

				

					
				

			

		

		

			
				
本次实验主要涉及北邮数值与符号计算课程中的四个关键问题：使用牛顿迭代法求解浮点数平方根、整数平方根、倒数以及模的逆。以下是每个部分的详细讨论：  1. **浮点数平方根（double my_sqrt(double c)）**：  牛顿...

			
		

	





	

		

			

				
					
二分法和牛顿迭代法

				
			

			

				

					banjun1329的博客
				

				

					08-12
					
					4719
					
				

			

		

		

			
				
先说一个面试题：问 1.2 - 0.2 == 1 ？
　　答案是False！ 为什么？


其原因在于十进制和二进制的转换上，计算机先要把十进制的数转化为二进制，然后再计算。但是，在转化中，浮点数转化为二进制，就出问题了，例如：十进制的 0.1，转化为二进制是：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011…（不能精确）...

			
		

	





	

		

			

				
					
浮点数开平方的几种算法

				
			

			

				

					qq_28249373的博客
				

				

					02-21
					
					2670
					
				

			

		

		

			
				
本文介绍了四种直接计算开平方的算法：分贝是牛顿迭代法、二分法、梯度下降法、泰勒级数法。首先从原理上进行推导，然后编程实现这些算法，分析了这些算法的特点。

			
		

	





	

		

			

				
					
求一个浮点数的平方根——牛顿迭代法

				
			

			

				

					HuanCaoO的博客
				

				

					04-09
					
					2689
					
				

			

		

		

			
				
求一个浮点数的平方根——牛顿迭代法public class CMath {
    private CMath() {}

    /**
     * Calculate the square root of a double floating-point number.
     *
     * @param d the double floating-point number
     *...

			
		

	





	

		

			

				
					
用牛顿迭代法计算整数的平方根到任意精度

				
			

			

				

					02-17
				

			

		

		

			
				
这个程序展示了如何使用GMP来计算小整数的平方根并精确到任意精度，它并没有直接调用GMP的浮点函数来直接计算，而是通过牛顿迭代法逐步求精得到指定的精度。
  
  这个程序以在VC6,VC2008和GCC下编译通过。在这个压缩包中，已经包含了GMP在windows平台的预编译lib文件和dll文件，你无需下载GMP来编译它。在Linux平台，你需要首先下载并安装GMP，然后你能编译和运行这个程序。
 
  凭借GMP的高性能和牛顿迭代法，这个程序的性能非常好，在我的E8500CPU,计算sqrt(2)并输出(重定向到文件)，当计算精度为10万/100万位有效数字时，仅需72毫秒和不到2秒。

			
		

	





	

		

			

				
					
利用牛顿迭代法求平方根.pdf

				
			

			

				

					01-14
				

			

		

		

			
				
详细讲述了利用牛顿迭代法求平方根的过程，值得参考。

			
		

	





	

		

			

				
					
c语言用牛顿方法计算正浮点数的平方根,javascript基于牛顿迭代法实现求浮点数的平方根【递归原理】...

				
			

			

				

					weixin_39837124的博客
				

				

					05-22
					
					516
					
				

			

		

		

			
				
javascript基于牛顿迭代法实现求浮点数的平方根【递归原理】本文实例讲述了javascript基于牛顿迭代法实现求浮点数的平方根。分享给大家供大家参考，具体如下：今天在网上看到一则利用牛顿迭代法求浮点数的平方根的方法,发现很好,比一些语言自带的sqrt方法运行要快,在这里备份一下,以待后用,这里稍微做了些改动.首先是牛顿迭代法原理:比如我们要求a的平方根，首先随便猜一个近似值x，然后不断令x...

			
		

	





	

		

			

				
					
C语言牛顿迭代法求平方根

					
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					菜鸟的博客
				

				

					10-11
					
					1万+
					
				

			

		

		

			
				
double mysqrt(double a)
{
double x,y;
x=1.0;
    
while(x*x-a0.00001)
{
 y=(x+a/x)/2.0;
 x=y;
}
return x;
}
0的计算不太准确，其他正常

			
		

	





	

		

			

				
					
用迭代法求平方根

				
			

			

				

					汉南最後の読書人
				

				

					12-29
					
					2285
					
				

			

		

		

			
				
输入代码：
/* 
*Copyright (c)2014,烟台大学计算机与控制工程学院 
*All rights reserved. 
*文件名称：sum123.cpp 
*作    者：林海云 
*完成日期：2014年12月29日 
*版 本 号：v2.0 
* 
*问题描述：用迭代法求 。求平方根的迭代公式为： X[n+1]=1/2(X[n]+a/X[n]) 要求前后两次求出的得差的绝对值少

			
		

	





	

		

			

				
					
求解平方根（牛顿迭代法与二分搜索）

				
			

			

				

					solego’s blog
				

				

					07-06
					
					499
					
				

			

		

		

			
				
求解一个数的平方根在C/C++中是有库函数sqrt(n)的，那么除此之外我们自己实现有哪些方式呢？

下面介绍牛顿迭代法和二分搜索两种思想，其共同点都是不断逼近目标值，直至到最后可以得到最接近目标值的范围，从而得到目标值。

这里是参考的大佬博客：https://www.cnblogs.com/qlky/p/7735145.html

1.牛顿迭代法



公式即Xi+1 = (xi + n ...

			
		

	





	

		

			

				
					
用牛顿迭代法求某正数n的平方根

				
			

			

				

					u011241606的专栏
				

				

					03-14
					
					2280
					
				

			

		

		

			
				
求n的平方根，先假设一猜测值X0 = 1，然后根据以下公式求出X1，再将X1代入公式右边， 
继续求出X2…通过有效次迭代后即可求出n的平方根， 
 Xk+1=(Xk+n/Xk)/2 
 （当Xk+1-Xk绝对值小于0.00001停止迭代,结果就可以保留相应的几位小数）#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int fun

			
		

	





	

		

			

				
					
牛顿求平方根法（输入是double，输出也是double）

				
			

			

				

					weixin_30919919的博客
				

				

					12-12
					
					123
					
				

			

		

		

			
				
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

//牛顿求平方根法
double CustomizedSqrt(double n){
    double r=1.0;
    while(abs(r*r-n)>1e-9)
        r=(r+n/r)/2;
    r...

			
		

	





	

		

			

				
					
python牛顿迭代法求算数平方根

					
最新发布

				
			

			

				

					03-10
				

			

		

		

			
				
<think>好的，我现在需要帮助用户实现用Python编写的牛顿迭代法来计算算术平方根。首先，我得回忆一下牛顿迭代法的原理。根据引用中的信息，牛顿迭代法是一种近似求解方程的方法，用于寻找方程的根。对于求平方根的问题，比如求√a，可以转化为求方程x² - a = 0的根。这时，牛顿迭代法的迭代公式应该是xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ)/2，对吗？

接下来，我需要考虑如何在Python中实现这个公式。用户可能需要一个函数，输入一个正整数a，然后返回它的平方根。需要注意的是，初始猜测值的选择，通常可以选择a本身或者a/2作为初始值。不过根据引用中的例子，可能初始值选为a，然后不断迭代直到满足精度要求。

然后，要处理迭代终止的条件。通常，当两次迭代的结果之间的差小于某个很小的数（比如1e-6）时，就可以停止迭代。但用户可能需要设置一个最大迭代次数，防止无限循环。不过根据引用中的例子，可能只需要用while循环判断差值是否足够小。

然后，编写代码的结构。函数大概的结构应该是：定义函数sqrt_newton(a)，初始化x为a或a/2，然后进入循环，计算下一个近似值x_next，然后比较x和x_next的差，如果小于某个阈值就返回结果。否则，更新x的值继续循环。

另外，需要考虑a为0或者负数的情况。但根据引用中的描述，用户可能关注的是正整数的算术平方根，所以在代码中可以添加判断，如果a是负数的话报错，或者返回复数。不过用户的问题明确提到是正整数，所以可能只需要处理正数的情况。

现在，举个例子，比如计算a=2的平方根，初始猜测x=2，然后迭代计算x_next=(2/2 +2)/2= (1+2)/2=1.5。下一次迭代，x=1.5，x_next=(1.5 + 2/1.5)/2≈ (1.5 +1.3333)/2≈1.4167。继续迭代直到差值足够小。

测试的时候，可能会发现需要更多的迭代次数才能达到高精度，但用1e-6的误差应该足够。然后，返回x_next作为结果。

现在，编写代码的大致步骤：

1. 定义函数，参数a和可选的初始猜测值（可选参数）。

2. 处理特殊情况，如a=0直接返回0，a为负数报错。

3. 初始化x，比如x = a或者a/2，或者其它初始值。

4. 进入循环，计算x_next = (x + a/x)/2。

5. 检查x和x_next的差值是否小于阈值，如果是则退出循环，返回结果。

6. 否则，将x设置为x_next，继续循环。

此外，还可以添加一个精度参数，让用户可以调整所需的精度。但根据用户的问题，可能不需要，所以先实现基本的。

可能的代码：

def sqrt_newton(a, epsilon=1e-6):
    if a < 0:
        raise ValueError("输入必须为非负数")
    if a == 0:
        return 0
    x = a
    while True:
        x_next = (x + a / x) / 2
        if abs(x_next - x) < epsilon:
            return x_next
        x = x_next

这里，初始值x设置为a。然后不断迭代直到满足精度。测试这个函数是否正确。比如，输入sqrt_newton(2)应该返回接近1.4142的值。可能还需要处理浮点数的精度问题，但Python的浮点数运算应该足够。

现在，用户的问题已经得到解决，但需要生成相关的问题。根据之前的示例，可能的问题包括：

1. 牛顿迭代法在求解平方根时的收敛速度如何？

2. 如何选择牛顿迭代法的初始值以加快收敛？

3. 牛顿迭代法与二分法在计算平方根时的优缺点比较？

或者，根据引用中的内容，可能的问题可以是：

1. 牛顿迭代法和其他方法（如二分法）在计算平方根时的区别？

2. 如何处理牛顿迭代法中的除零错误？

3. 牛顿迭代法是否适用于求复数的平方根？

等等。根据用户提供的引用，可能相关的问题会涉及比较不同的方法，或者优化初始值选择等。

总结，编写代码并解释步骤，然后生成相关问题。</think>### Python实现牛顿迭代法计算算术平方根

牛顿迭代法通过迭代公式逼近方程$f(x) = x^2 - a = 0$的根，具体步骤如下：

1. **选择初始值**：通常以目标值$a$或$a/2$作为初始猜测$x_0$[^2][^3]。
2. **迭代公式**：根据牛顿法公式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，推导得平方根迭代公式：
   $$x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)$$
3. **终止条件**：当连续两次迭代结果差值小于精度阈值（如$10^{-6}$）时停止[^3]。

#### Python代码实现
```python
def sqrt_newton(a, epsilon=1e-6):
    if a < 0:
        raise ValueError("输入必须为非负数")
    if a == 0:
        return 0.0
    x = a  # 初始猜测值
    while True:
        x_next = (x + a / x) / 2
        if abs(x_next - x) < epsilon:
            return x_next
        x = x_next
```

#### 示例调用
```python
print(sqrt_newton(2))  # 输出≈1.4142135623746899
print(sqrt_newton(9))  # 输出≈3.0
```

#### 关键点说明
- **初始值优化**：选择$a/2$作为初始值可能减少迭代次数
- **收敛速度**：牛顿法在单根附近具有平方收敛特性，速度远超二分法[^1]
- **异常处理**：添加对负数的检查防止数学错误[^2]

			
		

	



              




          




        



    





    



      

      

        
      

      





	

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