77、纤维空间与同伦群相关理论研究

纤维空间与同伦群相关理论研究

1. 纤维空间与同伦群的一般构造

在拓扑学中，对于一个弧连通空间 (X)，当 (i < n) 时其同伦群 (\pi_i(X)) 为零，我们可以构造纤维空间来“消除”其第 (n) 个同伦群 (\pi_n(X))。当 (n = 1) 且 (X) 连通时，这种构造方法推广了通过取 (X) 的万有覆盖来“消除”基本群 (\pi_1(X)) 的方法。

设 (X) 是弧连通空间，(x\in X)，(\mathcal{S}(X)) 是 (X) 的奇异复形。对于任意整数 (q\geq1)，(\mathcal{S}(X; x, q)) 是由那些 ((q - 1)) - 面在 (x) 处的单形生成的子复形。(\mathcal{S}(X; x, q)) 以 (G) 为系数的同调群（上同调群）是空间 (X) 在 (x) 处的艾伦伯格群，记为 (H_i(X; x, q, G))（(H^i(X; x, q, G))），它们构成局部系统。并且当 (q\geq2) 时，(\pi_q(X; x)\cong H_q(X; x, q, \mathbb{Z}))。

定义一个带有连续映射 (f: Y \to X) 的空间 (Y)，如果对于 (i\leq n) 有 (\pi_i(Y) = 0)，并且对于 (i > n)，(f) 定义了 (\pi_i(Y)) 到 (\pi_i(X)) 的同构，则称 (Y) 消除了 (X) 的 (i\leq n) 的同伦群。

定理 1 表明，如果空间 (Y) 消除了 (X) 的 (i\leq n) 的同伦群，那么 (Y) 的同调群 (H_ (Y)) 同构于艾伦伯格群 (H_ (X; x, n + 1))，上同调